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1、第11章半群与群离散数学江苏科技大学本科生必修课程计算机教研室周塔本章内容11.1半群与独异点11.2群的定义与性质11.3子群11.4陪集与拉格朗日定理11.5正规子群与商群11.6群的同态与同构11.7循环群与置换群本章总结例题选讲作业11.1半群与独异点半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。半群与独异点的定义，及其子代数的说明。半群与独异点的幂运算。半群与独异点的同态映射。半群与独异点定义11.1(1)设V＝是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群（semigroup）。(2)设V＝是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群，也叫做
2、独异点（monoid）。有时也将独异点V记作V＝。半群与独异点的实例，，，，都是半群,+是普通加法。这些半群中除外都是独异点。设n是大于1的正整数,和都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算。为半群,也是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},为模n加法。半群中元素的幂由于半群V＝中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意x∈S,规定：x1＝xxn+1＝xnx,
3、n∈Z+用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：xnxm＝xn+m(xn)m＝xnmm,n∈Z+普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。独异点中的幂独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x的零次幂,即x0＝exn+1＝xnxn∈N半群与独异点的直积定义11.2设V1＝，V2＝是半群(或独异点),令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下：,∈S,＝称
4、为V1和V2的直积，记作V1×V2。可以证明V1×V2是半群。若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则是V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。半群与独异点的同态映射定义11.3(1)设V1＝,V2＝是半群,:S1→S2。若对任意的x,y∈S1有(xy)＝(x)(y)则称为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。(2)设V1＝,V2＝是独异点,:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有(xy)＝(x)(y)且(e1)＝e2,则称为独异点V1到V2的同态映
5、射,简称同态。两点说明：为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符和，而简记为(xy)＝(x)(y)应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右边的(x)(y)是在V2中的运算。本节的主要内容集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。半群与独异点的两条幂运算规则：xnxm＝xn+m，(xn)m＝xnm。通过笛卡尔积构造直积 。同态映射的判别：(xy)＝(x)(y)对于独异点要加上(e)＝e。定义11.2说明任取,,S()=6、d>=<(ac)u,(b*d)*v>=()=()==11.2群的定义与性质群是特殊的半群和独异点。群论中常用的概念或术语：有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。群的运算规则。群的定义定义11.4设是代数系统，为二元运算。如果运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。举例(1),,都是群,而和不是群。(2
7、)是群,而不是群。因为并非所有的n阶实矩阵都有逆阵。Klein四元群设G＝{a,b,c,d}，为G上的二元运算，见下表。eabceeabcaaecbbbceaccbaeG是一个群：e为G中的单位元；运算是可结合的；运算是可交换的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。称这个群为Klein四元群,简称四元
