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《代数系统－半群与群(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、有限集合上的运算设S={a1,a2,a3.a4,a5},为其上的二元运算则该运算可用表来表示：中间是运算结果，运算次序为行标为先列标后＊a1a2a3a4a5a1a1＊a1a1＊a2a1＊a3a1＊a4a1＊a5a2a2＊a1a2＊a2a2＊a3a2＊a4a2＊a5a3a3＊a1a3＊a2a3＊a3a3＊a4a3＊a5a4a4＊a1a4＊a2a4＊a3a4＊a4a4＊a5a5a5＊a1a5＊a2a5＊a3a5＊a4a5＊a5集合S={1，2}的幂集上的对称差运算表+Ф{1}{2}{1,2}ФФ{1}{2}{1,2}{1}{1}Ф{1
2、,2}{2}{2}{2}{1,2}Ф{1}{1,2}{1,2}{2}{1}Ф设B={0,a,b,1}S1={a,1}S2={0,1}S3={a,b}二元运算+和由表给出问答并说明理由：1）的代数系统吗？2）是代数系统吗？是的子代数吗？3）是的子代数吗？4）是代数系统吗？+0ab100ab1aaa11bb1b1111110ab100000a0a0ab00bb10ab1第十一章半群与群§11．1半群与独异点半群与独异点都是具有
3、一个二元运算的代数系统．一、定义(1)设V=是代数系统，o为二元运算，如果o是可结合的，则称V为半群(2)设V=是半群，若e∈S是关于o运算的单位元，则称V是幺半群，也叫做独异点．有时也将独异点V记作(S，o，e)。例：常规的半群，Z+正整数，，，都是半群以上半群中除外都是独异点例：设n是大于1的正整数，n阶实矩阵的加法n阶实矩阵的乘法都是半群，也都是独异点（幺元？）例：+为集合的对称差运算是半群，
4、也是独异点（ø）例：Zn={0，1，2，···，n一1}+n为模n加法是半群，也是独异点（0）例：o为函数的复合运算．是半群，也是独异点（IA)(3)半群中元素的幂定义：对于半群V=o是可结合的，元素的幂:∀x∈S规定：x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+用数学归纳法可证明幂运算满足规则：xnoxm=xn+m(xn)m=xnm普通数乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则（4）独异点中的元素的幂:独异点V=∀x∈S规定：x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和
5、子独异点半群的子代数叫做子半群，独异点的子代数叫做子独异点1）如果V=是半群，T⊆S，T对V中的运算o封闭，则是V的子半群．2）如果V=是独异点，T⊆S，T对V中的运算o封闭，且e∈T，则=是V的子独异点．例：其中R为非零实数集合o运算定义如下：∀x,y∈Rxoy=y是半群例：设S={(a0)a,b∈R}二阶矩阵，其上的运算为矩阵的乘法0b二阶单位矩阵为幺元a0V=为独异点T={(00)a∈R}T是S的子集且对运算封闭，则V1=是V的子半群由于e不属于T
6、,且V1中没有幺元所以V1不是V的子独异点二、半群和独异点的同态映射(1)设Vl=<{Sl，o>，V2=是半群函数f：Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算则称f为半群Vl到V2的同态映射，简称为同态．(2)设Vl=<{Sl，o，e1>，V2=是独异点，函数f：Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算且f(e1)=e2则称f为独异点Vl到V2的同态映射，简称同态．例：上面的例子可定义V到V1的同态映射f是个半群自同态
7、例：与是二个半群及独异点建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可验证f是保持运算的例：设S={a,b,c}运算表为右边，V=为半群构造V1=定义函数fa(x)=axfa∈SS其中的运算o为函数的复合则V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(ab)=fab因为fab（x)=(ab)x=a(bx)=fa(fb(x
8、))=(faofb)(x)所以有h(ab)=fab=faofb是保持运算的映射所以h是V到V1的半群同态若取值域h（S)={fa,fb,fc}⊆SS那么V2=则h是V到V2的半群同构Ofafbfcfafafbfcfbfbfcfafc
