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时间:2019-07-12
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1、有限集合上的运算设S={a1,a2,a3.a4,a5},为其上的二元运算则该运算可用表来表示:中间是运算结果,运算次序为行标为先列标后*a1a2a3a4a5a1a1*a1a1*a2a1*a3a1*a4a1*a5a2a2*a1a2*a2a2*a3a2*a4a2*a5a3a3*a1a3*a2a3*a3a3*a4a3*a5a4a4*a1a4*a2a4*a3a4*a4a4*a5a5a5*a1a5*a2a5*a3a5*a4a5*a5集合S={1,2}的幂集上的对称差运算表+Ф{1}{2}{1,2}ФФ{1}{2}{1,2}{1}{1}Ф{1
2、,2}{2}{2}{2}{1,2}Ф{1}{1,2}{1,2}{2}{1}Ф设B={0,a,b,1}S1={a,1}S2={0,1}S3={a,b}二元运算+和由表给出问答并说明理由:1)的代数系统吗?2)是代数系统吗?是的子代数吗?3)是的子代数吗?4)是代数系统吗?+0ab100ab1aaa11bb1b1111110ab100000a0a0ab00bb10ab1第十一章半群与群§11.1半群与独异点半群与独异点都是具有
3、一个二元运算的代数系统.一、定义(1)设V=是代数系统,o为二元运算,如果o是可结合的,则称V为半群(2)设V=是半群,若e∈S是关于o运算的单位元,则称V是幺半群,也叫做独异点.有时也将独异点V记作(S,o,e)。例:常规的半群,Z+正整数,,,都是半群以上半群中除外都是独异点例:设n是大于1的正整数,n阶实矩阵的加法n阶实矩阵的乘法都是半群,也都是独异点(幺元?)例:+为集合的对称差运算是半群,4、也是独异点(ø)例:Zn={0,1,2,···,n一1}+n为模n加法是半群,也是独异点(0)例:o为函数的复合运算.是半群,也是独异点(IA)(3)半群中元素的幂定义:对于半群V=o是可结合的,元素的幂:∀x∈S规定:x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+用数学归纳法可证明幂运算满足规则:xnoxm=xn+m(xn)m=xnm普通数乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则(4)独异点中的元素的幂:独异点V=∀x∈S规定:x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和5、子独异点半群的子代数叫做子半群,独异点的子代数叫做子独异点1)如果V=是半群,T⊆S,T对V中的运算o封闭,则是V的子半群.2)如果V=是独异点,T⊆S,T对V中的运算o封闭,且e∈T,则=是V的子独异点.例:其中R为非零实数集合o运算定义如下:∀x,y∈Rxoy=y是半群例:设S={(a0)a,b∈R}二阶矩阵,其上的运算为矩阵的乘法0b二阶单位矩阵为幺元a0V=为独异点T={(00)a∈R}T是S的子集且对运算封闭,则V1=是V的子半群由于e不属于T6、,且V1中没有幺元所以V1不是V的子独异点二、半群和独异点的同态映射(1)设Vl=<{Sl,o>,V2=是半群函数f:Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算则称f为半群Vl到V2的同态映射,简称为同态.(2)设Vl=<{Sl,o,e1>,V2=是独异点,函数f:Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算且f(e1)=e2则称f为独异点Vl到V2的同态映射,简称同态.例:上面的例子可定义V到V1的同态映射f是个半群自同态7、例:与是二个半群及独异点建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可验证f是保持运算的例:设S={a,b,c}运算表为右边,V=为半群构造V1=定义函数fa(x)=axfa∈SS其中的运算o为函数的复合则V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(ab)=fab因为fab(x)=(ab)x=a(bx)=fa(fb(x8、))=(faofb)(x)所以有h(ab)=fab=faofb是保持运算的映射所以h是V到V1的半群同态若取值域h(S)={fa,fb,fc}⊆SS那么V2=则h是V到V2的半群同构Ofafbfcfafafbfcfbfbfcfafc
,都是半群以上半群中除外都是独异点例:设n是大于1的正整数,n阶实矩阵的加法n阶实矩阵的乘法都是半群,也都是独异点(幺元?)例:+为集合的对称差运算是半群,4、也是独异点(ø)例:Zn={0,1,2,···,n一1}+n为模n加法是半群,也是独异点(0)例:o为函数的复合运算.是半群,也是独异点(IA)(3)半群中元素的幂定义:对于半群V=o是可结合的,元素的幂:∀x∈S规定:x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+用数学归纳法可证明幂运算满足规则:xnoxm=xn+m(xn)m=xnm普通数乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则(4)独异点中的元素的幂:独异点V=∀x∈S规定:x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和5、子独异点半群的子代数叫做子半群,独异点的子代数叫做子独异点1)如果V=是半群,T⊆S,T对V中的运算o封闭,则是V的子半群.2)如果V=是独异点,T⊆S,T对V中的运算o封闭,且e∈T,则=是V的子独异点.例:其中R为非零实数集合o运算定义如下:∀x,y∈Rxoy=y是半群例:设S={(a0)a,b∈R}二阶矩阵,其上的运算为矩阵的乘法0b二阶单位矩阵为幺元a0V=为独异点T={(00)a∈R}T是S的子集且对运算封闭,则V1=是V的子半群由于e不属于T6、,且V1中没有幺元所以V1不是V的子独异点二、半群和独异点的同态映射(1)设Vl=<{Sl,o>,V2=是半群函数f:Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算则称f为半群Vl到V2的同态映射,简称为同态.(2)设Vl=<{Sl,o,e1>,V2=是独异点,函数f:Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算且f(e1)=e2则称f为独异点Vl到V2的同态映射,简称同态.例:上面的例子可定义V到V1的同态映射f是个半群自同态7、例:与是二个半群及独异点建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可验证f是保持运算的例:设S={a,b,c}运算表为右边,V=为半群构造V1=定义函数fa(x)=axfa∈SS其中的运算o为函数的复合则V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(ab)=fab因为fab(x)=(ab)x=a(bx)=fa(fb(x8、))=(faofb)(x)所以有h(ab)=fab=faofb是保持运算的映射所以h是V到V1的半群同态若取值域h(S)={fa,fb,fc}⊆SS那么V2=则h是V到V2的半群同构Ofafbfcfafafbfcfbfbfcfafc
+为集合的对称差运算是半群,
4、也是独异点(ø)例:Zn={0,1,2,···,n一1}+n为模n加法是半群,也是独异点(0)例:o为函数的复合运算.是半群,也是独异点(IA)(3)半群中元素的幂定义:对于半群V=o是可结合的,元素的幂:∀x∈S规定:x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+用数学归纳法可证明幂运算满足规则:xnoxm=xn+m(xn)m=xnm普通数乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则(4)独异点中的元素的幂:独异点V=∀x∈S规定:x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和
5、子独异点半群的子代数叫做子半群,独异点的子代数叫做子独异点1)如果V=是半群,T⊆S,T对V中的运算o封闭,则是V的子半群.2)如果V=是独异点,T⊆S,T对V中的运算o封闭,且e∈T,则=是V的子独异点.例:其中R为非零实数集合o运算定义如下:∀x,y∈Rxoy=y是半群例:设S={(a0)a,b∈R}二阶矩阵,其上的运算为矩阵的乘法0b二阶单位矩阵为幺元a0V=为独异点T={(00)a∈R}T是S的子集且对运算封闭,则V1=是V的子半群由于e不属于T
6、,且V1中没有幺元所以V1不是V的子独异点二、半群和独异点的同态映射(1)设Vl=<{Sl,o>,V2=是半群函数f:Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算则称f为半群Vl到V2的同态映射,简称为同态.(2)设Vl=<{Sl,o,e1>,V2=是独异点,函数f:Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)运算的象等于象的运算且f(e1)=e2则称f为独异点Vl到V2的同态映射,简称同态.例:上面的例子可定义V到V1的同态映射f是个半群自同态
7、例:与是二个半群及独异点建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可验证f是保持运算的例:设S={a,b,c}运算表为右边,V=为半群构造V1=定义函数fa(x)=axfa∈SS其中的运算o为函数的复合则V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(ab)=fab因为fab(x)=(ab)x=a(bx)=fa(fb(x
8、))=(faofb)(x)所以有h(ab)=fab=faofb是保持运算的映射所以h是V到V1的半群同态若取值域h(S)={fa,fb,fc}⊆SS那么V2=则h是V到V2的半群同构Ofafbfcfafafbfcfbfbfcfafc
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