和导数非线性薛定谔方程族相联系四个（2%2b1）维孤子方程拟周期解

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1、摘要本文将(2+1)维DNLS，mKP，耦合mKP孤子方程分解为DNLS族的前两个非平凡的(1+1)维孤子方程，进一步分解为两个相容的常微分方程的Hamilton系统．通过非线性化方法，证明了与DNLS孤子族相联系的Lenaxd特征值问题在具有Lie-Poisson结构的Poisson流形CⅣ×RⅣ上是完全可积的Hamilton系统．其中利用母函数方法，证明守恒积分的两两对合性和函数独立性，以及引进Abel-Jacobi坐标直化Hamilton流，对诸流有一个很形象的刻画．进而，在分解和代数曲线理论的基础之上，通过解常微分方程和对坐标的反演分别得到(

2、I+I)维和(2+1)维孤子方程的拟周期解．关键词；(2+1)维孤子方程，Lie-Poisson结构，Hamilton系统，拟周期解Abstract(2+1)．dimensionalDNLS，mKP，coupledmKPsolitonequations毗eseparatedintothefirsttwonontrivia](1+1)一dimensionalsofitonequationsinDNLShierarchy,furtherintotwonewcompatibleHamiltoniansystemsofordinarydifferential

3、equations．Withthehelpofnonlinearizationapproach，theLenardspectralproblemrdatedtotheDNLShierarchyisturnedintoacompletelyintegrableHamiltoniansystemwithaLie-PoissonstructureonthePoissonmanifoldCⅣ×RⅣ．Ageneratingfunctionapproachisintroducedtoprovetheinvolutivityandthefunctionalinde

4、pendenceoftheconservedintegrals．Aclearevolu-tionpictureofvariousflowsisgiventhroughthe“window”ofAbel-JacobicoordinatestostraightenouttheHamiltonianflows．Basedonthedecompositionandthetheoryofalgebracurve，theexplicitquasi—periodicsolutionsforthe(1+1)and(2+1)一dimensionalsolitonequ

5、ationsareobtained．Keywords：(2+1)一dimensionsolitonequation，Lie-Poissonstructure，Hamiltoniansys-tern，quasi·periodicsolution郑重声明本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明．学位论文作者；椰艳笺L2005年4月12日1引言多维孤子方程现在已成为孤子理论中的热点问题，但由于它们的多维性和高度非线性性，很难用直接

6、的方法去解这些方程，因此考虑将高维问题降为较低维可积的同题，其中特征值问题的非线性化方法或者约束流方法【1-4】可以达到这个效果．早期的文献主要是通过这个方法将(1+1)维孤子方程分解为两个相容的常微分方程【2，3】，在Liouville意义下这两个方程是有限维完全可积系统，即某一孤子族中的每一个(1+1)维方程rdu；K(u)(1．1)瓦引‘L“J⋯’都可以由零曲率方程来表示t豢咄。邓蚓而零曲率方程是两个线性方程的超定系统即Lax对的相容条件：啦5№砒(1．2)‰=K(u，^)y．有趣的是位势“和特征函数Y之间存在有关系·u=，c(Ⅳ)(1．3)它

7、可以把(1．2)非线性化为两个相容的Hamilton系统t跏2易VjH0’(1．4)9弧=J和l魄．以上过程被称为Lax对的非线性化．因此(1+1)维孤子方程(1．1)可以分解为两个(0+1)维可积模型(1．4)．近年来，这个方法被推广到分解(2+1)维孤子方程为已知的(1+1)维可积系统[5-12]．对于更加复杂的(2+1)维方程可以由它ti]l掏Lax表示用类似的方法分解为(1+1)维方程，进一步分解为(0+1)维方程即相容的常微分方程，通过求解常微分方程。从而可以求解(2+1)维孤子方程．Hamilton系统的理论是建立在辛流形和Poisson

8、流形上的．经典的Hamilton系统的理论框架是辛流形。它的Poisson结构是非退化的，偶数维的．广义Ha