一族11维孤子方程及其拟周期解

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1、郑州大学硕士学位论文一族1+1维孤子方程及其拟周期解姓名：薛珊申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：杜殿楼20070401摘要本文从一个3x3谱问题出发，得到了一族1+1维孤子方程．利用非线性化方法，族中的孤子方程被分解为两个相容的常微分方程的Hamilton系统，该系统是具有Lie-Poisson结构的Poisson流形I护Ⅳ上的广义Hamilton系统．进一步，由母函数方法，证明了守恒积分的对合性和函数独立性，并引入Abel-Jacobi坐标对相应的流进行直化．最后，通过Riemann-Jacob

2、i反演，求得了1+1维孤子方程的拟周期解．关键词：孤子方程，非线性化方法，Lie-Poisson结构，Hamilton系统，Riemann-Jacobi反演，拟周期解AbstractA3x3spectralproblemisproposed．fromwhichahierarchyof1+1dimensionalsolitonequationsisderived．Withthehelpofnonlinearizationapproach，thesolitonsy8temsinthehierarchyared

3、ecomposedintotwonewcompatibleHamiltoniansystemsofordinarydiffer-entialeqtmtionswithaLie-PoissonstructureonthePoissonmanifoldI护Ⅳ．Thegenerating矗lnctionflowmethodisusedtoprovetheinvolutivityandthefIlnctionalindependenceoftheconservedintegrals．TheAbel-Jacobic

4、oordinatesareintroducedtostraightenouttheassociatedflows．UsingtheRiemann-Jacobiinversiontechnique，theexplicitquasi—periodicsolutionsforthe1+1dimensionalsolitonequationsareobtained．KeyWords：solitonequation，nonlinearizationapproach，Lie-Poissonstructure，Hami

5、l-toniansystem，Riemann-Jacobiinversion，quasi-periodicsohition一引言在线性理论日趋完善的今天，非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域而成为研究焦点．因此在研究过程中将无法避免的碰到各种各样的非线性方程，而对于这些非线性方程的求解无疑成为非线性科学研究的关键，也是非线性研究的难点．不同于线性方程，目前我们只能用一种或几种方法得到非线性方程的一类特解，但还无法给出一般解．因此，对于非线性系统没有统一的求解方法，常常是对于不同的具体问题采用不同的研究手段

6、。常用的方法有反散射方法，B{icklund变换，达布变换(DT)，Hirota双线性方法，Lie对称方法，齐次平衡法，代数几何方法，Painlevd分析方法等．在非线性科学中，孤立子理论在自然科学的各个领域里是非常重要的角色[1】．孤子理论一方面在数学，物理，生物学，化学等各自然科学领域得到了广泛的应用【1,2】，另一方面极大地促进了一些传统数学理论的发展【3】，从而可积系统的研究引起了数学家和物理学家的极大兴趣．已有的研究表明，对于可积的非线性系统必定存在孤立子解．那么，什么叫做可积呢?到目前为止，对

7、于一个非线性系统是否可积还没有一个完全确定和统一的定义．所谓的可积性是指不同意义下的可积性，所以在说一个非线性系统是可积的时候通常会指明它是在哪种意义下可积．例如：Liouville可积，Painlevd可积，和Lax可积等等．本文运用的是Liouville意义下的完全可积性．那么什么是Liouville可积呢?我们要借助于Hamilton系统进行说明．Hamilton系统分为经典Hamilton系统和广义Hamilton系统。经典Hamilton系统的理论框架是辛流行．按照Liouville-Arnol

8、d定理，一个具有n自由度的Hamilton系统，如果存在n个独立的，两两对合的守恒积分，则守恒积分的水平集是相流的不变流形，在紧致连通情形它微分同胚于一个n维环面，相流在其上的限制是一个条件周期运动．在角坐标下，正则方程具有非常简单的形式，可以直接积出．这就是LiouviUe意义下的完全可积性．广义Hamilton系统的理论框架是Poisson流形．Poison流形就是装配上Poisson结构的微分流形，即对定义在Poisso