一类非线性方程的分解及其拟周期解.pdf

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1、郑硕士学位授予单位代码：研究生学号：密级：学论文1045904300811论文题目：一类非线性方程的分解及其拟周期解作者姓名：学科门类：专业名称：研究方向：导师姓名、职称：郭冬萍理学基础数学孤立子与可积系统杜殿楼教授二零零七年四月摘要本文从—个新的3×3谱问题出发，获得了一类新的非平凡的(1+1)一维孤子方程．然后利用特征值问题的非线性化方法，得到了一个在Poisson流形R3N上的具有Lie-Poisson结构的有限维Hamilton系统．通过引入Abel-Jacobi坐标，对Hamilton流进行直化．最后根据代数曲线理论及分解定理，得到了一类新的(1+1)

2、一维孤子方程的拟周期解．关键词；孤子方程；非线性化；Lie-Poisson结构；Hamilton系统；拟周期解AbstractBasedOilanew3x3eigenvalueproblem，anew(1+1)一dimensionaleolitonhierarchyispre-sented．Withthehelpofthenonlinearizationapproachofeigenvalueproblems，anewfinite-dimensionalHamiltoniansystemwithaLie-PoissonstructureOilthePoisson

3、manifoldRaⅣisobtained．TheAbel-JaeobicoordinatesaxeintroducedsuitablytostraightenouttheHamiltonianflows．Basedonthedecompositionandthetheoryofalgebracurve，theexpHdtquasi-periodicsolutionsfortheflew(1+1)一dimensionalequationsaxeobtained．Keywords：solitonequation；nonlinearization；Lie-Poias

4、onstructure；Hamiltofiiansystem；quasi-periodicsolution§O引言可积系统是孤立子理论具有挑战性的研究课题，最早的一系列有实际意义和有深度的完全可积的Hamilton系统的模型：如Jacobi关于椭球面上测地线方程，c．Neumama关于约束到球面上的谐振子的可积性研究，Kovalevski关于一些类型的陀螺的研究等．这些例子都是常微分方程的可积模型，最终被纳入著名的Liouville-Arnold理论．但是，寻找新的并能与具有物理意义的方程联系起来的可积系统越来越难，这为进一步全面研究有限维可积系统的理论带来了困

5、难．进入上世纪60年代，随着孤子理论的兴起，从无限维可积系统构造有限维可积系统的研究给这一领域带来了生机11-3]，目前，比较系统的方法有驻定流方法和Lax对的非线性化方法．驻定流方法是前苏联数学家建立的关于孤子方程的驻定方程是完全可积的有限维Hamil-ton系统的方法11-6]．Lax对的非线性化方法最早的启发源于J．Moser[7]关于有限带位势的SchrSdinger方程导出历史上的c．Neumann系统的研究．曹策}可教授在上世纪80年代后期基于对Schr&iinger方程谱问题的认识进一步系统提出孤子方程对应Lax对的非线性化技巧睁15】，成功地得到

6、了许多有限维可积系统，极大地丰富了有限维可积系统的内容．之后，曹在文116-17]中建立了驻定流方程和Lax对的非线性化特征值问题等价性的理论．非线性化方法是利用位势和特征函数的约束关系，把谱问胚非线性化，而且，这种非线性化的特征值问题被判定是Liouville意义下的完全可积系．如KdV，AKNS，Jaulent·Miodek，Kaup-Newell族等．该方法已被国内外许多孤子研究者采用并得到了众多的推广．特征值问题的非线性化是构造有限维可积系统的重要途径．本文主要通过三个途径来讨论Lie-Poisson框架下的非线性化特征值问题．第一，Lie-Poisso

7、n结构；以往非线性化特征值问题的研究是在事流形框架下通过j#退化的Poisson结构展开的f18-21】．本文以一个3×3特征值问题为例，说明了该特征值问题的非线性化是具有Lie-Poisson结构的Poisson流形IpN上的广义Hamilton系统．它具有Ⅳ个Casimir函数和Ⅳ个独立的两两对合的守恒积分，因而是完全可积的．利用Lie-Poisson结构讨论非线性化特征值问题有以下几个优点；1．和谱问题对应的Lie代数结构联系在一起，因而可以利用Lie代数的有关性质讨论可积结构；2．该结构下位势和特征函数的约柬十分简单，相当多的情况为线性约束，其性质更接近

8、孤立子系统；3．计算上的