一类高阶非线性微分方程的正周期解new

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1、
2010年3月四川师范大学学报(自然科学版)Mar.,2010
第33卷
第2期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)Vo.l33,No.2一类高阶非线性微分方程的正周期解徐宏武,
李小龙(陇东学院数学系,甘肃庆阳745000)

摘要:应用Krasnoselskii锥映射不动点定理,研究了一类高阶非线性常微分方程Lnu=f(t,u(t))的
-周期解的存在性,获得了正
-周期解存在性的充分性条件.关键词:n阶常微分方程;正
-周期解;闭凸锥;锥映射不动点定理中图分类号:O175.5

文献标识码:A

文章编号:1

2、001-8395(2010)02-0193-03do:i10.3969/j.issn.1001-8395.2010.02.0131
引言及预备知识(21)∀K为全连续映射,若下列条件之一成立(i)&Qu&%&u&,
u∃K∋1;&Qu&(设f(t,u):R[0,+!)∀[0,+!)连续,关&u&,
u∃K∋2;(n)(n-1)于t以
为周期,记Lnu=u+an-1u+#+a0(ii)&Qu&(&u&,
u∃K∋1;&Qu&%u为n阶线性微分算子,考虑n阶微分方程&u&,
u∃K∋2;Lnu=f(t,u(t)),

t∃R(1)则Q在K∋(21)中必有不动点.的正
-周期解

3、的存在性问题,显然,该问题等价引理1
对
h∃C[0,
],线性周期边值问题于周期边值问题ndLnu=f(t,u(t)),
0%t%
,)(+i)u=h(t),
0%t%
,(2)i=1dt(4)(k)(k)u(0)=u(
),
k=0,1,#,n-1(k)(k)u(0)=u(
),
k=0,1,#,n-1(0)解的存在性,其中u=u0.存在唯一解u=Tnnh∃C[0,
],且:文献[1]建立了方程(1)在Lnu的特征多项式n(i)Tn:C[0,
]∀C[0,
]为线性全连续算子,nn-1Pn()=+an-1+#+a0的n个根全为负实n
数时的上、下解定理,而文献[2

4、]将文献[1]中的结&Tn&=),其中i是Pn()的根,且i>0;i=1i果推广到Pn()的n个根可正可负的情形,微分方

(ii)Tn为正算子,即当h(0时,Tnh(0.[3-6]程周期解的存在性在很多文献中已有研究,但nd证明
注意到Lnu=)(+i)u,对
h∃对于方程(1)的正周期解的存在性问题尚未见有相i=1dt关文献.C[0,
],易见方程(4)有解
本文利用锥映射的不动点定理,获得了方程u(t)=∗0G(t,s)h(s)ds,(5)(1)正周期解的存在性.


k记C[0,
]为[0,
]上k阶连续可微函数按其中G(t,s)=∗#G1(t,∀1)G2

5、(∀1,∀2)#Gn(∀n-1,s)00∗0∗范数&u&=max

6、u(t)

7、构成的Banach空间,为了0%t%
d∀1d∀2#d∀n-1,研究方程(2),先考虑n阶线性周期边值问题-i(t-s)eL-
,
0%s%t%
,nu=h(t),
0%t%
,1-ei(k)(k)(3)Gi(t,s)=-(
+t-s)u(0)=u(
),
k=0,1,#,n-1.ei[4]-i
,
0%t%s%
.

定理A
设X为Banach空间,K为X中的闭1-e凸锥,1,2为X中的开区域,!∃
1,12,Q:K∋易见,当i>0时,Gi(t,s)>0.

收稿日期:2008-09-2

8、2基金项目:甘肃省教育厅硕士研究生导师计划(0710-04,0810-03)资助项目作者简介:徐宏武(1965),男,副教授,主要从事常微分方程、差分方程的研究194

四川师范大学学报(自然科学版)




33卷


n由极大值原理知,方程(4)的解唯一,记为u=

9、u(t)(#&u&,t∃[0,
1(Tnh)(t)=∗0G(t,s)h(s)ds,(6)
]},其中#=n,i为Pn()的根,且i>0.
n)因此,Tn:C[0,
]∀C[0,
]为线性全连续算子.另i=

10、1i一方面,直接计算知

情形1
条件(i)成立,首先证明,当r充分小
n
时,有∗G(t,s)ds=)0i=1i&Qu&%

11、u

12、,

u∃K∋1,(7)对
h∃C[0,
],按(6)式有

13、(Tnh)(t)

14、%因为f0=0,按f0的定义知,!r>0,使得0

15、h(s)

16、ds%)&h&,所以&Tnh&有f(t,x)%#x,因此当u∃K,&u&=r时,对
s∃0i=1i[0,
],因为0<#&u&%u(s)%&u&=r,故有n
%)&h&.另一方面取h0(t)+1,则f(