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1、摘要摘要从Painlevé分析方法提出到现在，这一方法得到了很大的改进和发展。现在主要的Painlevé分析法包括ARS方法、WTC方法、Kruskal简化法、Conte展开法（共形不变Painlevé展开法）、Pickering的非标准截断法、推广的Painlevé分析法等。近些年来，Painlevé分析方法被广泛应用于非线性系统的研究中。这一方法能够为非线性系统的研究提供很多信息，如精确解的构造、Bäcklund变换、双线性变换、Darboux变换、Lax对的构造、可积和不可积模型的判定等。本文主要研究了几类孤子方程的Painlevé性质及其精确解的构造。以
2、主要的Painlevé分析方法为基础，做了两方面的工作。一方面，在对孤子方程作Painlevé分析后，针对截断点的相容性条件，运用常微分方程解和Ricatti方程解的性质、特殊的非线性变换、Bäcklund变换、Möbious变换等多种技巧，给出了孤子方程特殊形式的精确解。另一方面，受到Conte展开法、Pickering的非标准截断法、推广的Painlevé分析法的启发，对传统的WTC方法进行改进，得到孤子方程关于奇异流形的高阶Painlevé展式，构造出方程更具有一般形式的精确解。基于变系数的非线性方程能够更加准确地描述实际的物理模型，首先,我们讨论了两个变
3、系数孤子方程柱KdV方程和变系数Broer-Kaup方程的Painlevé性质，并对方程的Painlevé分析给出了详细的证明。利用常微分方程的性质、相关的非线性变换和Bäcklund变换构造出了变系数孤子方程多种形式下的精确解。其次，我们讨论了（1+1）维和（2+1）维孤子方程组的Painlevé性质。在讨论一个由3阶谱问题导出的新的（1+1）维孤子方程组时，得到了多个分支。对于每个分支，我们利用Möbious变换、常微分方程和Ricatti方程解的性质等多种技巧构造出了不同的精确解。对于（2+1）维的耦合Burger方程组，利用Bäcklund变换构造出了它
4、的多孤子解。最后，我们对WTC方法进行了改进，对奇异流形进行椭圆函数方程等我们熟悉的非线性方程的限制，得到EuclideanLiouville方程和Zhiber-Shabat方程的高阶Painlevé展开式。并通过奇异流形满足的限制方程的特解构造出孤子方程的多种形式的精确解。我们用传统的Painlevé分析方法无法得到这些形式的解。关键词：孤子方程Painlevé分析Bäcklund变换洛朗展式精确解IAbstractAbstractSincePainlevéanalysisisputforward,thisapproachhasbeengreatlyimpro
5、vedanddeveloped.Now,themainPainlevéanalysismethodsincludeARSmethod,WTCmethod,Kruskal’sansatz,Conteexpansionmethod(ConformalinvariantPainlevéexpansionmethod),PickeringnonstandardtruncationmethodandextendedPainlevéanalysismethodetc.Inrecentyears,thePainlevéanalysismethodiswidelyusedint
6、hestudiesofnonlinearsystems.Meanwhile,themethodcanprovidevariousinformationfornonlinearsystems’studies.Thereareconstructionofexactsolutions,Bäcklundtransformation,bilineartransformation,Darbouxtransformation,constructionoftheLaxpair,thejudgmentofintegrableandnon-integrablemodelsetc.I
7、nthispaper,severalsolitonequation’sPainlevépropertiesandtheirexactsolutionsarestudied.BasingonthemainPainlevéanalysismethods,wefinishtwokeywork.Foronething,afterdoingPainlevéanalysisforsolitonequationsandconsideringaboutthecompatibilityconditionsofthecut-offpoint,weemployalotoftechni
8、questogainso
