几个离散与几个连续孤子方程的精确解析解.pdf

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1、AthesissubmittedtoZhengzhouUniversityforthedegreeofdoctorExactlyAnalyticSolutionsofSomeDiscreteandContinuousSolitonEquationsByXiaoxueXuSupervisor：Prof．CewenCaoPureMathematicsSchoolofMathematicsandStatisticsMarch，2013目录4．2离散Neumann系统的构造．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．。．．534．3有限亏格解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2、．．．．．．．．．．．．．55第5章一个(2+1)维导数SchwarzianKdV方程595．1方程的导出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．595．2有限参数特解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．625．2．1Liouville积分集．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．625．2．2Lax对的非线性化．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．665．3Abel—Jacobi解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．70第6章结论736．1内容方法总结。

3、．．．。。．．。。。．。。．。。．．．。．．．。。。．．．．．．．736．2前景的展望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．73参考文献附录个人简历、在学期问发表的学术论文及研究成果致谢VI74869294第1章绪论1．1．2离散可积系统近些年来，随着差分几何、量子力学、数论、表示论、计算数学等学科领域的发展，离散可积系统已成为当今国际上具有独立兴趣的研究课题，并被公认为是通向差分方程和离散系统一般理论的首选途径．主要作坊位于世界闻名的牛顿研究所(IsaacNewtonInstitute)．反过来，离散理论的逐步完善又能有力地促进这些学科的研究．众

4、所周知，连续可积系统的发展已相当成熟，研究方法多种多样．对于离散情形，我们自然要问：这些方法可否直接运用?若不能，该如何修正?当然，从离散系统所固有的特性出发也是一个很不错的选择．大致源于上述思想，很多有效的离散化手续纷纷涌现．关于离散可积系统的发展历史，本文不再详细陈述．而是借助于从诸多研究方法中遴选出的两个范例，来展示其运作机制．1．几何观念在可积系统理论中扮演着重要的角色．Gauss曲面论中的Gauss—Weingarten方程是超定的，相容条件是Gauss—Codazzi方程．而孤子理论中的Lax对是超定的，相容条件是孤子方程，格局一致．在伪球面情形，Gauss—Wein

5、garten方程恰为Lax对，Gauss-Codazzi方程恰为sine-Gordon(SG)方程：莎。￡一sine=0(1．1．1)19世纪中期，方程(1．1．1)曾被用来描述具有常负曲率曲面的运动[6】，其特别之处在于它的Biicklund变换[7，8】．大量的几何事实表明：这种变换具有可置换性『9，101，也就是说，存在一个自然同态，把只有两个生成元的自由Abel群映为B／icklund变换群，故有很好的代数性质，这在孤子理论中已经被体现出来(穿衣变换)．Biicklund变换通常带有参数(不同的参数对应不同的变换版本)，经迭代，再借用置换性，就可得出一类差分方程，其中包括

6、由SG方程之Biicklund变换导出的离散势MKdV方程(LpMKdV)flll：入(亩西一tSw)=黟(曷西一西凹)．(1．1．2)此类二维全离散偏差分方程(时空离散)的可积性难以判定．如果我们将维数提高，增加离散参数，即可构造出原方程的三个版本，经计算发现，若初值给定，则迭代结果与路径选取无关，此种相容性被称为CAC(consistency-around-the-cube)性质．正是基于这一思想，ABS(Adler-Bobenko-Suris)列表于2003年被制作出来f121．v．E．Adler，A．I．Bobenko和Yu．B．Suris给出Quad—Graphs(存在

7、四边形胞腔分解)上有限维离散可积方程的确切定义，并将2维情形概括为9种(相差一定的变换)．随后，又分别给出离散2第1章绪论为更加全面深入地把握离散可积系统，现再列举一些重要方法．·新交分原理．Novikov等制作出任意图上的离散Lagrange系统[aT]．Moser等给出离散可积系统的Lagrange映射[26，38，39】，随后，以Nijhoff为代表，给出一些二维离散方程的Lagrange构造[40，41】，又基于Cartan等提出的Lagrangianmultiform这