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1、第50卷第4期2001年4月物 理 学 报Vol.50,No.4,April,2001100023290/2001/50(04)/0586207ACTAPHYSICASINICAn2001Chin.Phys.Soc.(2+1)维非线性薛定谔方程的环孤子,3dromion,呼吸子和瞬子1)2)2)阮航宇 陈一新1)(宁波大学物理系,宁波 315211)•2)(浙江大学近代物理中心,杭州 310027)(2000年9月5日收到) 利用分离变量法,研究了(2+1)维非线性薛定谔(NLS)方程的局域结构.由于
2、在B¾cklund变换和变量分离步骤中引入了作为种子解的任意函数,得到了NLS方程丰富的局域结构.合适地选择任意函数,局域解可以是dromion,环孤子,呼吸子和瞬子.dromion解不仅可以存在于直线孤子的交叉点上,也可以存在于曲线孤子的最近邻点上.呼吸子在幅度和形状上都进行了呼吸.关键词:非线性薛定谔方程,分离变量法,孤子结构PACC:0230,0340寻找非线性偏微分方程特殊解有许多可行的方1 引言法,最重要的一些方法是反散射变换、双线性方法、[12—15]对称约化、B¾cklund变换和Darb
3、oux变换.在(1+1)维孤子和孤波解已被人们熟知,并广泛应线性物理中,傅里叶变换和分离变量法是两个重要用于物理学的众多领域,如凝聚态物理、流体力学、等的方法.反散射方法是傅里叶变换方法在非线性物[1]离子体物理、纤维光学等.在(2+1)维情况下,许多理中的推广.分离变量法在非线性物理中的推广,直有实际物理意义的可积模型也已在非线性物理中建到最近才在两个方向有所发展.一个方向是形式变[2—5][6][16]立.最近,由于Boiti等人的开拓性工作,(2+量分离法,在这种方法中独立变量并没有实现真1)维模
4、型中指数局域的dromion解引起了人们极大的正的分离.第二个方向是本文所采用的独立变量实[17]关注.一般而言,dromion解由直线孤子形成,dromion现真正分离的分离变量法.[7,8]位于两条直线的交叉点上.文献[9,10]中指出dromion也可以由曲线孤子形成.从对称性研究中,发2NLS方程的变量分离步骤现(2+1)维可积模型的对称结构远比(1+1)维可积模型丰富.这就给了一个启示,(2+1)维可积模型应为了利用分离变量法,现在做下面的B¾cklund该存在一些尚未发现的相干结构.变换:本
5、文的兴趣是探索(2+1)维NLS方程u=g/f+u0,Q=-2(lnf)x+Q0,(2)uxx=uQx-iut,(1)式中f和g分别为实函数和复函数,{u0,Q0}为33uxx=uQx+iut,NLS方程的一个任意的已知解,在(2)式的变换下,Q=uu3NLS方程(1)成为双线性形式y22的孤子结构.(2+1)维NLS方程是众所周知的(1+(Dx+iDt+u0Dx)gf-Q0xgf=0,(3)3331)维NLS方程非各向同性Lax可积的推广.该方程DxDyff+gg-u0gf-u0fg=0,(4)[11
6、][12]可以从KP方程的对称限制中获得.符号D为Hirota意义下的双线性算符.X国家自然科学基金(批准号:19875041),浙江省自然科学基金(批准号:100033),教育部中青年骨干教师专项(批准号:C0001)资助的课题.•通讯地址.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.4期阮航宇等:(2+1)维非线性薛定谔方程的环孤子,dromion,呼吸子和瞬子5872为了进一步深入讨论,把种子解{u0,Q0}选为-A
7、1A2t+A2A1t+A2A3t.(16)如下形式:可以直接验证(16)式的普遍解具有以下形式:u0=0,Q0x=p0(x,t),(5)A1q=+A2,(17)式中p0≡p0(x,t)为变量{x,t}的任意函数.经过A3+F2(y)一些繁琐但直接的运算,发现NLS系统(3)和(4)式式中F2≡F2(y)为y的任意函数.拥有分离变量解最后,将拥有(7)式的(6)式代入(2)式,可以得f=a1p(x,t)+a2q(y,t)+a3p(x,t)q(y,t),到NLS方程场量u模的具体形式g=p1q1exp(ir
8、+is),(6)22a1a2pxqyU=
9、u
10、=2,(18){a1,a2,a3}为任意常数,{p,p1,r}为{x,t}的函(a1p+a2q+a3pq)数,{q,q1,s}为{y,t}的函数.将方程(6)代入(3)和QyPx=2,(19)(4)式,并令实部和虚部分别为零,得到(A1cosh(P+Q)+A2cosh(P-Q))p1=2a1a2px,q1=2a1a2qy,(7)式中A1和A2为任意常数.在合适地选择常数C1,st=0,(8)C2
