无穷矩阵环上的导子new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第24卷第2期数学研究与评论v。1-24N。．22004年5月JOURNALOFMATHEMATICA1RESEARCHANDEXPOSITIONMay2004无穷矩阵环上的导子。崔石花，牛风文(1．天津大学理学院，天津300072；2吉林大学数学研究所，吉林长春130012)摘要：讨论无穷矩阵环上的导子。证叫了环R上有限个元素不为零的无穷矩阵环的每个导子均可表示为两个特殊导子之和．关键词：导子I无穷矩阼环．分类号：AMS(2000)16N60／CLCnumber：O153．3文献标识码：A文章编号：lOOO一341X(2004)02—03

2、53—06设R是有1结合环，d是R到R的映射，且对任意z，YER均有d(z+)一d(工)+()，d(xy)一d(x)y+xd()，则称d为尺上的导子．特别地，对n∈R，映射In(口)：尺一尺，In(乜)：工Ea，工]一乜z—z乜，称为尺上由口引出的内导子．一般意义下的导子和特殊的内导子的关系，一直是结合代数和非结合代数理论中引人注目的讨论课题，见文献E4]．1995年，S．J~ndrup在文献[1]中证明了R上阶全阵环和三角矩阵环上的每个导子均为一个内导子和尺的一个诱导导子之和，给有限矩阵环上的导子一个很明确的刻画．对于无穷维线性代数理论中经常出现的一些无穷矩阵环，人们当然希望有类似的整

3、齐结论．本文利用结合环扩张理论技巧，对一类重要的无穷矩阵环上的导子给出了分解式．用代表尺上所有只有有限个元素不为零的矩阵构成的结合环，用代表每列只有有限个元素不为零的矩阵(即列有限矩阵)构成的结合环，相应地，用丁代表行有限矩阵环．本文将用环的Martindale扩环n7’中元素引出的X—InnerE3]把A的导子表达出来，即有定理1设尺是有1环，d是上的导子，则d(X)=r口，x-]+X，VX∈A，·收稿日期：2001—1o_12作者简介：崔石花(1976一)，女，硕士，助教一353—维普资讯http://www.cqvip.com这里口∈SNT，是R上的导子．可以看出，对于有限矩阵环(

4、R)上的导子，它对应由(R)的元素引出的内导子，而无穷矩阵环上的导子对应的是扩环n丁元素引出的X—Inner，不一定是中元引出的内导子．为此，先证引理2设d是上的导子，且(x)一[口，]+x，这里口是R上的无穷矩阵，是R上的导子，则a∈SNT．证明记口=(aii)：，则0—l2一口l3⋯6l2】0O⋯d(el1)=[口，el1]+el=[口，el1]一a3l0O⋯因为d(e。。)∈A，所以d(e。。)只有有限个元素不为零，故a"all不能有无穷多个非零，因此存在，zl，使得口=一0，当n>n1．又d(e)：[口，]一∑(一a2i)，同样存在，z：，使得a一n一0，当n>n．依次取e。。，

5、e⋯⋯时，知a的每一行，每一列非零元素都是有限的，因此a∈SnT．定理1的证明设，}'记d．=dI^-，类似于文献[1]的证明方法，对任意，z，可以证明下式成立，d(x)一[，x]+x，对任意XEA，这里是足上的无穷矩阵，是尺上的导子．记一’)嚣：I，对于∈Az。⋯，d(e¨)-d】(¨)一[，e¨]+e：l，d(e11)一2()一[口2，el1]+e，两式相减得[一a，el1]一0，于是有n一n，na，一2，3，⋯．同理，对于d。，d。，有[—a。，ell3-o，从而得知a。，a。的第一行，第一列的元素除位置外均相同．由归纳法，对任意，z而言，a。，的第一行，第-N元素除e。。位置外均

6、相同．对于e22∈A23‘⋯，由d2(e22)=(e22)：(e22)，有[口2一口3，e223=o．从而得知口2，a。的第二行，第二列的元素除位置外均相同．由归纳法，对任意而言，口2，的第二行，第二列元素除e。位置外均相同．总而言之，0tn，+··的元素除位置外均相同(一1，2，⋯)．考虑dl(ael1)一[口l，口l1]+ag1．ell维普资讯http://www.cqvip.com0nnnnn，ae11l+([n，n]+口J)l1●●●：：：一[_1，ae11]+口l1．对任意XEA，d2()一[口，x]+x一0nn—．．。．．．。．．．．．．．Ll)一n一n(2)n'j+l】+'

7、+x)+X．d(x)一[，x]+x-，VX∈(，z一1，2，⋯)，这里__是R上的无穷矩阵，是R上的导子．取X=el2∈A2以3‘⋯，则由d(e12)一2()一[2，e12]+e，d(el2)一3(l2)一[_3，el't]+e，知n一n一n(3)一n．同理，由d(el2)一2()一[2，el2]+di，d(e12)一()一[_4，el2]+e，知n(2)一n一n一n．由归纳法知，，_3，⋯，，⋯的e22位置的元素均相同．取X=el