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《交换环上一类代数的拟导子》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第24卷第1期四川理工学院学报(自然科学版)Vol24No12011年2月JournalofSichuanUniversityofScience&Engineering(NaturalScienceEdition)Feb2011文章编号:16731549(2011)01002903交换环上一类代数的拟导子李娜娜,张荣娟(中国矿业大学理学院,江苏徐州221116)摘要:设R为任意含幺交换环,Mn(R)为R上所有矩阵组成的结合R-代数。对于Mn(R)上线性变换,若存在线性变换使得对任意x,yMn(R)均有xy=xy+xy,则称为Mn(R)上的拟导子。本文
2、定出了当n!3时Mn(R)上任一拟导子的具体形式,对导子的概念进行了推广。关键词:矩阵代数;导子;拟导子;交(可)换环中图分类号:O151文献标识码:A∀Mn(R),X
3、∀X.取=2,则由拟导子的概念易得引言是一个拟导子,但它不是导子。Lege和Luks在文献[1]中首次引入了李代数上拟1Mn(R)的标准拟导子导子的概念,设L为李代数,对于Hom(L,L),若存在Hom(L,L)使得对任意的x,yL均有([x,首先介绍一下本文中将用到的一些记号。一般地,y])=[(x),y]+[x,(y)],则称为L上拟导子。设R为任意含幺交换环,令n!3,我们分别用Mn(R)
4、,且Lege和Luks完全决定了域上由权空间张成的一类李On(R),Dn(R)表示R上所有n#n矩阵,所有主对角线代数的所有拟导子。黄惠玲,谭宜家等在文献[2]中决全为0的矩阵,所有对角矩阵组成的代数,对任意的1∃定了可换半环上上三角矩阵代数自同构的具体形式。i,j∃n,EijMn(R)表示只有(i,j)分量是1,其余分量文献[3-7]中给出了可换环上一类代数的导子和若当全为0的n级方阵。对任意的xMn(R),可写导子的具体形式。而李代数和结合代数之间密切关联,X=%1∃i,j∃naijEij,其中aijR。我们将Mn(R)上所有故本文意欲把拟导子的概念移植到结合代数上,定出n线性映射
5、组成的集合记为gl(M),所有拟导子组成的集!3时可换环R上矩阵代数Mn(R)的拟导子的具体形合记为QDer(M),所有导子组成的集合记为Der(M),式,从而把文献[1]的部分结果由域推广到环上,对导子所有内导子组成的集合记为ad(M),于是由拟导子定义的概念进行了推广。得gl(M)的子代数链:ad(M)Der(M)QDer(M)。定义1设R为任意含幺交换环,为R上代数。构造Mn(R)的一些标准拟导子。为上线性映射,若存在线性映射:∀对任意的内导子:若XM(R),那么映射adX:M(R)∀nna,b,均有(ab)=(a)b+a(b),则称为Mn(R),Y
6、
7、∀[X,Y]=XY-YX是Mn(R)的一个导子,称上的拟导子。它为X诱导的内导子。显然,若是上的导子,则一定是上的拟导诱导的拟导子:设aR,定义可逆的线性映射:R∀子,可见拟导子是导子概念的推广。但反过来,若是R,称对于诱导的拟导子是合适的,如果对任意的1∃i,j,上的拟导子,那么是上的导子吗?k∃n,aii,aki,aik,akjR满足:例恒等变换。取n!3,定义映射如下::Mn(R)(1)(aii)=aaii,i=1,2&n收稿日期:20101110基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金(2010LKSX05)作者简介:李娜娜(1984),女,山东淄博人,
8、硕士,主要从事代数及其应用方面的研究。30四川理工学院学报(自然科学版)2011年2月(2)当i∋j时,有引理2若是Mn(R)的拟导子,则存在aR,使(aikakj)=(aik)akj+aik(akj)-aaikakj得对任意1∃i,j∃n均有(Eij)=(Eij)+aEij。(3)(aikaki)=(aik)aki+aik(aki)-aaikaki=0证明对任意1∃i,j∃n,由于E(Eij=Eij,可得利用这样的定义映射!:Mn(R)∀Mn(R),(Eij)=(E)Eij+(Eij)。由引理1知(E)RE。故%aijEij
9、∀%(aij)E
10、ij。令(E)=aE,aR,于是(Eij)=(E)+aEij。1∃i,j∃n1∃i,j∃n定理1的证明,设是Mn(R)的任一拟导子。下面证明定义1的映射!为Mn(R)上拟导子。第一步存在DOn(R),使得对任意1∃i∃n,证明任取x=%aijEijMn(R),y=%bijEij1∃i,j∃n1∃i,j∃naR,有(-adD)(Ei)=aEi。进而-adD把对角Mn(R),其中aij,bijR。显然对任意r,sR,有!(rs+矩阵变
