交换环上严格上三角矩阵环的自同构new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第24卷第2期湘潭大学自然科学学报Vo1．24No．22002年6月NaturalScienceJournalofXiangtanUrfi~ersityJLm．2002交换环上严格上三角矩阵环的自同构谭作文，杨玉月，曹佑安(湘潭大学数学系，湖南湘潭4l】105)[摘要]研究任意交换环上的n阶严格上三角矩阵环^()的自同构，证明了环A()的任一自问构p可以表示成标准自同构的乘积．关键词：严格上三角矩阵环；自同构中图分类号：Ol52．3文献标识码：A文章编号：l(X)O一5900{2O

2、O2-)02一IX]0卜O5AutomorphismsoftheStrictlyUpperTriangularMatrixRingoverCommutativeRingsTANZuo—lOeB,。YA_NGy一)xte，CA0l‘一0n(Department0fMathematics-XiangtanUniversity,，Xiangtan41l105China)【Abstract】TheaimofthispaperistOdiscusstimautomorphismsoffilestrictlyuppertriangtdarm

3、atrixring(R)0、rercommumtivetings．WeprovethatanyautomorplfismIDof(R)callbeexpressedasaproductofstandardautomor—phisms．Keywords：strictlyupperaJ1gularmatrixring；automorphismsMR(1991)47H10矩阵环(矩阵代数)及其子环(子代数)的自同构与李自同构是矩阵论的重要研究课题之一，人们在这方面已做了大量的工作．设尺是一个有单位元的交换环，M(R)是尺上所有n×n矩

4、阵构成的环(R一代数)．Barker和KezlanJ，Isoacs

5、1研究了M(R)的R一代数自同构，Barker．Kezlan。·“J，Jondrup等人研究了上三角矩阵环和上三角矩阵代数的自同构．曹佑安和王敬童研究了严格上三角矩阵代数的自同构．Barker¨和CoelhoL90]研究了结构矩阵环和结构矩阵代数的自同构．此外，Dokovc和曹佑安_5j一]研究了交换环上上三角矩阵以及严格上三角矩阵的李自同构，本文将在Kezlan¨，曹佑安和王敬童_等的研究结果的基础上，确定严格上三角矩阵环的自同构．本文假定尺是任意有单位元的交

6、换环，尺是尺的单位组成的群，(尺)是尺上所有nXn上三角矩阵构成的环，N(R)是R上所有nXn严格上三角矩阵构成的矩阵环，这里n是不小于2的正整数．设E是(尺)中的(i，)位置元素为1，其它元素都为0的矩阵，E是n阶单位矩阵．为了方便起见，我们约定在一个矩阵的表达式：a(iE中，下标i可以小于1，．可以大于n，并且如果i<1或者>n，那么系数n规定为0．N(尺)中的矩阵A可表示为4=∑arE．我们用Aut((尺))表示N(尺)的自i(，同构群．令=，{∑。ln∈R)，—l≥当r≥n时，令M，=0．显然每个，都是(尺)的理想．如果

7、，，，⋯，，∈』＼『(尺)，则乘积，：⋯X，∈．由此可知VP∈Aut(N(尺))，p(M，)cM，，进一步由于p可逆可知lD(M，)=M，，r=1，2，⋯．此外还可以知道M，MM⋯．不难看出环N(尺)的中心是M一=RE，．下面给出环，v(尺)的4类自同构，我们称它们为标准自同构．下文将证明环(尺)的任一个自同-收稿日期：2001一ll一20基金项目：国家自然科学基金资助项目(19871069)；湖南省教育厅资助科研项目(01AO03；00C065)作者简介：谭作文(1967一)，男，湖南南县人，硕士生．维普资讯http://ww

8、w.cqvip.com2湘潭大学自然科学学报2O。2年构能够表示为这些标准自同构的乘积．(A)内自同构．环N(R)没有通常的内自同构，但是对(R)中任一个主对角元为1的矩阵环(尺)的内自同构：】，一对No(R)的限制是环(R)的一个自同构，该自同构称作内，自同构．Nn(R)的所有内自同构构成AutⅣn(R)的一个子群，该子群记为hm(R)．引理1InnN(R)Aut(R)．证明见[7]，引理1．(B)中心自同构．设n≥3，f：N(R)尺是一个保持加法的映射，且当．Y∈M时，-厂(X)=0．令r：+-厂(．Y)EV∈N(尺)．易知

9、是环N(R)的一个自同构，该自同构称作中心自同构．(C)对角自同构．设D(R)是尺上所有n×n可逆对角矩阵构成的群．VD∈D：(R)，映射：DXD～，VX∈N(R)，是环No()的一个自同构，该自同构称作对角自同构．(D)环自同构．设g是环尺的一个自同构，映射：