关于交换环上矩阵的若干问题

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1、哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要1848年，为了给研究行列式提供一个适当的代数语言，J.J.Sylvester首先引入了“矩阵”这个概念.1855年，为了研究两个线性变换的复合变换的表达式，A.Cayley给出了矩阵乘法的定义，从而开创了矩阵代数这个研究领域.二十世纪以后，人们把矩阵视为线性变换一般理论的有限维情形，对矩阵进行了更加深入的研究，并将研究引入到环上的矩阵之中.现在，矩阵在各个学术领域和重要的应用课题中已经起着不可替代的作用，许多数学家从事着对这一领域的研究.设R是含有单位元的交换环，记M(R)

2、为R上所有m×n矩阵的mn×全体构成的集合，AM∈mn×(R)，以A的一切k阶子式为元素，按字典序排列构成的矩阵Ck(A)为A的k阶复合矩阵.而以A子式的代数余k*子式为元素的C阶矩阵C(A)为A的k阶复合伴随矩阵.伴随矩阵是nk复合伴随矩阵的特例，因此复合伴随矩阵是伴随矩阵理论的深入发展.作为准备工作，本文首先研究了交换环上矩阵的性质，交换环上矩阵的秩，交换环上矩阵的特征值.然后在含有单位元的交换环上研究了复合矩阵和复合伴随矩阵，证明了对合(幂等、幂单、幂零)阵的复合矩阵和复合伴随矩阵都是对合(幂等、幂单、

3、幂零)阵，同时证明了复合映射Ck是从乘法幺半群Mnn×(R)到乘法幺半群Mss×()R*的同态映射，复合伴随映射Ck是从乘法幺半群Mnn×(R)到乘法幺半群Mss×(R)的反同态映射，而且得出复合矩阵和复合伴随矩阵的秩.假设F是特征为2的域，F中至多含有n(其中n≥2)个元素，本文-I-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文*证明了当存在s∈F，且s≠1时，SL(F)中任一矩阵都是2个对合换n位子之积.这一结果丰富了已有的相关理论.关键词交换环；复合伴随矩阵；特征值；秩；换位子-II-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文A

4、bstractInordertoprovidearightalgebralanguage,theconceptofmatrixwasintroducedfirstlybyJ.J.Sylvesterin1848.Then,in1855,A.Cayleyproposedthedefinitionofmatrixmultiplicationforthepurposeofstudyingthecompoundtransformexpressionoftwolineartransforms,whichinitiated

5、thenewresearchfield—algebraicresearchinmatrix.Asafinitedimensionalcaseofgenerallinearthtransformtheory,matrixhasbeenmoreintenselyinvestigatedsince20century.Moreover,matrixoverringsarealsostudied.Nowadays,matrixtakesanirreplaceableroleinvariousacademicfields

6、andmanyimportantapplications.Manymathematiciansareengagedinthisfield.SupposeRisacommutativeringwithidentityandM(R)isthesetthatismn×constitutedbyallthem×nmatricesoverR,andAisanelementinM(R).Themn×matrixCk(A)constitutedbyallthesubmatrixoforderkinlexicographic

7、orderis*thecompoundmatrixoforderkofA.ThecompoundadjointmatrixCk(A)ofkorderkofAisamatrixoforderCanditselementisjustthealgebraicncomplementminorofsubminiorA.Sincetheadjointmatrixisthespecialcaseoftheadjointmatrix,thecompoundadjointmatrixistheevolutionoftheory

8、ontheadjointmatrix.Forpreparation,wefirststudythepropertiesofthematrixovercommutativerings,ranksofmatrixovercommutativerings,andeigenvaluesofmatrixovercommutativerings.Thenwestudyonthecompoundmatrixand