关于环上矩阵的加权广义逆【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学关于环上矩阵的加权广义逆矩阵的广义逆首先被E.H.Moore所注意.1955年,Penrose改进并推广了Bjerhammar关于线性方程组的结果,并证明了给定矩阵的Moore逆是满足下列四个方程：（1）AXA＝A（2）XAX＝X（3）(AX)*＝AX(4)(XA)*=XA（其中*表示矩阵的共轭转置）的唯一的矩阵X,这一结果非常重要并富有成果,以致这个唯一的广义逆被通称为Moore-Penrose逆.从此广义逆的研究进入了一个新的时期.其理论和应用得到了迅速发展,已经成为矩阵论一个重要的分支.

2、随着矩阵广义逆研究的不断深入,一般域、除环、主理想整环、Noether环、半单Artin环和带有对合反自同构的结合环上矩阵的广义逆的研究已有不同程度的进展.自文[13]定义了矩阵的广义Moore-Penrose逆以来,文[10]讨论了带有对合的范畴中具有满单分解的态射的广义Moore-Penrose逆.文[5]讨论了带有对合的有1的结合环上一类左（右）高矩阵的广义Moore-Penrose逆存在的充要条件.进一步,文[2]讨论了具有泛分解的态射的广义Moore-Penrose逆.由于泛分解概括了矩阵中的一些重要分解,如域上

3、矩阵的极(Polar)分解、奇异值分解、Schur分解[12]、左右PID环上矩阵的Smith分解,单Artin环上矩阵的等价分解等.因而,深入研究具有这类分解的矩阵的广义逆是很有意义的。广义逆为Moore-Penrose逆(有时也简称为M-P逆)。从此广义逆矩阵的研究进入了一个新的时期。其理论、应用和计算方法的研究得到了迅速的发展，已成为矩阵论的一个重要分支。1958年，Drazin在其论文[16],[12]中引入了Drazin逆，而群逆是由Frdelyi于1967年引进的。广义逆矩阵理论在数理统计、最优化理论、控制理论

4、、系统识别和数字图像处理等许多领域都具有重要应用。随着矩阵广义逆研究的不断深入，一般域、除环、主理想整环、Noether环、半单Artin环和带有对合反自同构的结合环上矩阵的广义逆的研究在国内外已有不同程度的进展。如1983年K.P.S.BhaskaraRao讨论了整环上矩阵的广义逆[14],1984年R.Puystjens研究了Noether环上矩阵的M-P逆[13]，分别得到了一些有用的结果；1988年曹重光在文献[8]中给出了带有对合反自同构的一般环上任意矩阵均存在Moore-Penrose广义逆的充要条件，它推广了

5、文献[15]中相应的结果；1991年陈建龙在文献[1]中讨论了带有对合反自同构*有单位元的结合环R上形如A=GDH（其中D=D=D*，G为右高矩阵，H为左高矩阵）的矩阵的Moore-Penrose逆，给出了这样的矩阵存在Moore-Penrose逆的充要条件和Moore-Penrose逆的表达式；1994年陈建龙继续文献[1]的工作，进一步讨论环上形如GDH（G为阶右高阵，H为阶左高阵，D=D）的方阵的另外两个重要的广义逆—群逆和Drazin逆[7][11]，并给出了环上这一类方阵有群逆，{1,5}-逆的充要条件及其它们的

6、表达式，推广了体（域）上关于群逆的Cline定理。此外还首先得到了矩阵有Drazin逆的判别准则和它的表式；1996年杜先能；2002年刘淑丹，游宏在文献[5]工作的基础上，考虑了文献[3]中同类矩阵的广义M-P逆存在的充要条件，并给出了逆存在时的表达式；2003年刘晓冀[4],刘三阳,王志坚在文献[9]中通过纯环论的方法给出一般环上矩阵的Moore-Penrose逆存在的充要条件，并给出了它的一个显式表达,从而推广了以往文献的相应结果；2007年岑建苗在文献[2],[6]中讨论了带有对合反自同构*有单位元的结合环R上矩阵

7、的Moore-Penrose逆,给出环R上矩阵的Moore-Penrose逆存在的几个充要条件,得到了环R上矩阵A的Moore-Penrose逆存在的充要条件是A有分解A=GDH,其中D=D=D*，(GD)*GD+I-D和DH(DH)*+I-D均可逆；2006年刘晓冀在文献[10]中定义了一种新的加权广义逆—正则环上矩阵的加权广义逆，利用矩阵的行空间和列空间,给出这种广义逆存在的充要条件和它的一个显式表达。特别地，给出了一般域、四元数体、除环上矩阵的Moore-Penrose逆存在的新的充要条件，推广了以往文献的相应结果。

8、虽然自上个世纪50年代以来，国内外对广义逆矩阵的研究十分活跃，已有好多研究成果，但也有大量的问题有待于解决。在现有的成果中主要是对一般域、除环、主理想整环、Noether环、半单Artin环和带有对合反自同构的结合环上的矩阵的广义逆的结果。但对于一般环上矩阵的广义逆的秩的结果相对较少，这是因为在环上很难