也谈矩阵的广义逆【文献综述】

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1、毕业设计文献综述信息与计算科学也谈矩阵的广义逆矩阵是从许多实际问题的计算中抽象相互来的一个极其重要的数学概念,它被广泛地应用到现代管理科学、自然科学、工程技术等各个领域.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都是可以研究和使用的,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应

2、先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.19世纪英国数学家凯莉首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,并首先发表了关于这个题目的一系列文章,首先引进矩阵符号以简化记号.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了

3、大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论

4、,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.广义逆的概念最早是由I.Fredholm提出

5、的,他给出了积分算广义逆的定义,并称为“伪逆”.1904年,D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中,含蓄地提出了微分算子的广义逆.而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的,他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上,他利用投影矩阵定义了矩阵唯一Moore的广义逆.1933年,E.H.Moore的学生Y.Y.Tseng又将Moore广义逆推广到了Hilbert空间,提出了Hilbert空间线性算子的广义逆的概念.20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣.然而,矩阵的广义逆真正得到迅速的发展并在各个领域获得卓有成效的应用实在1955年英国

6、学者R.Penrose利用四个矩阵方程（现在称之为Penrose方程组）给出了广义矩阵的简洁实用的新定义,即矩阵的Moore广义逆满足以下四个矩阵方程：（1），（2），（3），（4）因此,通常称条件（1）～（4）为Moore-Penrose条件.近五十年来,广义逆矩阵的理论和应用得到了迅速发展,并在其中扮演着不可或缺的角色,例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、点网络分析、马尔科夫链、系统理论、测量学,等等,特别是在研究最小二问题、长方及病态线性方程问题、非线性问题、不适定问题、马尔科夫链等统计问题、线性及非线性规划问题等之中,广义逆是不可缺少的工具.因此,至今为止,矩阵及算子

7、广义逆仍然是国际上非常活跃的一个研究领域.而且广义逆理论本身以及相关的应用领域盖有很多有待进一步研究.参考文献[1]邓勇.长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法[J].绵阳师范学院学报,2008:34~37.[2]吴有为.求广义逆矩阵的初等变换法[J].数学通报,1992:26~27.[3]同济大学应用数学系.矩阵分析[M].同济大学出版社.2005:153~173.[4]徐德余.矩阵初等变换的推广及其应用[J].绵阳师范学院学报,2005:7~9.