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1、第8卷第2期西安文理学院学报(自然科学版)Vol.8No.22005年4月JournalofXi'anUniversityofArts&Science(NatSciEd)Apr.2005文章编号:1008-5564(2005)02-0020-05关于环上自由模与矩阵环的讨论于萍,王挺,许迅雷(西安文理学院数学系,陕西西安710065)摘要:环上的自由模是域上线性空间的一种推广,因而线性空间的许多性质可以自然地推广到环上的自由模.文[1]指出,交换环上自由模的基所含元素的个数是自由模的一个不变量,即基元个数不(m)(n)变性.这里对任意环上自由模的基
2、及相关矩阵进行了讨论,给出了任意环上两个自由模R与R同(m)(n)(m)(n)构的充要条件,R,R分别是秩为m,n的自由R-模,并且Hom(R,R)是秩为mn的自由R(m)(n)-模,同时做出了使R≌R、但m=n不成立的反例.关键词:自由模;自由基;矩阵环;模同态中图分类号:O151.21文献标识码:A在线性代数中,“线性空间的基所含元素的个数是一个不变量”是大家熟知的结果.环上的自由模是域上线性空间的一种推广,因而线性空间的许多性质可以自然地推广到环上的自由模.文[1]指出,许多重要的环是有基元个数不变性,并且给出下面定理.(m)(n)定理1如果
3、R是交换环,且R≌R,那么m=n.(m)(n)定理中的R,R分别是秩为m,n的自由R-模.这说明交换环上自由模的基所含元素的个数是自由模的一个不变量.现在任意环R上进行讨论,即不假设环R具有交换性,得到下面的定理.(m)(n)定理2设R是任意环,则自由模R≌R当且仅当存在矩阵A∈Mm,n(R),B∈Mn,m(R),使AB=Im,BA=In.这里Mm,n是环R上m×n矩阵环,Mn,m是环R上n×m矩阵环,Im是通常的m阶单位矩阵,In是n阶单位矩阵.(m)(n)证明设{u1,u2,…,um}是R的自由基,{v1,v2,…,vn}是R的自由基.nm(m
4、)(n)若R≌R,设ui=∑aijvj(i=1,2,…,m),记A=(aij),A是m×n矩阵,vj=∑bjkukj=1k=1nm(j=1,2,…,n),记B=(bij),B是n×m矩阵,aij,bjk∈R,则ui=∑aij(∑bjkuk)=j=1k=1mnn∑(∑aijbjk)uk,因为{u1,u2,…,um}是自由基,所以∑aijbjk=δik,(i=1,2,…,m),即AB=Im.k=1j=1j=1mnnm另一方面,因为vj=∑bjk(∑akivi)=∑(∑bjkaki)vi,而{v1,v2,…,vn}是自由基,所以k=1i=1i=1k=1m
5、∑bjkaki=δji(j=1,2,…,n),即BA=In.k=1反之,如果存在A=(aij)∈Mm,n(R),B=(bij)∈Mn,m(R),使AB=Im,BA=In.设{u1,u2,收稿日期:2005-03-02基金项目:西安文理学院专项科研基金资助项目(KY200426)作者简介:于萍(1954—),女,陕西西安人,西安文理学院数学系教授.第2期于萍,等:关于环上自由模与矩阵环的讨论21m(m)(n)…,um}是R的自由基,令vj=∑bjkuk(j=1,2,…,n),则{v1,v2,…,vn}是R的自由基.k=1nmn(m)事实上,设∑xjv
6、j=0,xj∈R,则有∑∑xjbjkuk=0,由于{u1,u2,…,um}是R的自由基,所j=1k=1j=1n以∑xjbjk=0,于是有j=1mnnm∑(∑xjbjk)·aks=∑xj(∑bjkaks)=0,(s=1,2,…,n)k=1j=1j=1k=1(n)因为BA=In,所以xj=0(j=1,2,…,n),故{v1,v2,…,vn}是R的自由基.m(n)(m)令σ:vj※∑bjkuk,则σ是R到R的R-模同构.k=1n(m)(n)事实上,σ是模同态,显然又对每个ui∈R有α=∑aijvj∈R,aij∈R,使得σ(α)=j=1nnnmmnmσ(∑
7、aijvj)=∑aijσ(vj)=∑aij∑bjkuk=∑(∑aijbjk)uk=∑δikuk=ui,故σ是满射.j=1j=1j=1k=1k=1j=1k=1nnmn若有αj∈R,使σ(∑αjvj)=0,即∑∑αjbjkuk=0,由{u1,u2,…,um}是自由基可得∑αjbjk=j=1j=1k=1j=1nmnmnn0,于是∑∑αjbjkaks=0,即0=∑αj(∑bjkaks)=∑αjδjs=αj(j=1,2,…,n),所以∑αjvj=0,j=1k=1j=1k=1j=1j=1即σ是单射.(n)(m)综上知,σ是R-模同构,因此,R≌R.(n)(n)
8、(n)定理3设σ∈EndRR,EndRR是R的自同态环,{u1,u2,…,un}与{v1,v2,…,vn}是(n)R的两个
