Hirota双线性导数变换与DNLS方程的孤子解

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1、2014年第4期物理通报物理问题研究Hirota双线性导数变换与DNLS方程的孤子解周国全(武汉大学物理科学与技术学院湖北武汉430072)(收稿日期：2013—10—10)摘要：介绍并基于Hirota双线性导数变换，零边值条件下DNIS方程得以直接求解．其单孤子与双孤子解被作为两个典型特例以说明双线性导数变换法的一般应用手续．孤子之间的弹性碰撞通过双孤子情形得以展示，单孤子和双孤子解随时间与空间的演化也通过图表加以演示．关键词：双线性导数变换孤子非线性可积方程导数非线性薛定谔方程Hirota方法这类求解方法均属于间

2、接方法，且推导过程迂回繁难。～．作为为数不多且典型的非线性可积模型之一，由日本学者Hirota创立于20世纪70年代的双导数非线性薛定谔(DNLS)方程即线性导数变换_7]，是探求许多非线性可积方程的孤i++i(1“l“)===0(1)子解的一种典型而有效的直接方法．经验表明，正确它可用来描述等离子体中的阿尔芬波l3]，此时地选择一个适当的解的形式，是对一个诸如式(1)Re(u)与Im()分别表示横磁波的两个正交分量，之类的可积非线性方程成功地实施双线性导数变换式(1)又可用来描述单模光纤中的亚皮秒或飞秒激的重要而关

3、键的一步．文献[4～6]已经证明了光脉冲]，此时J“l表示激光脉冲的波包振幅．描述DNLS方程的孤子解必定具有如下的标准形式这一波包演化的修正的非线性薛定谔(MNLS)方“一(2)程可经过规范变换转化为式(1)所示的DNLS方本文变量上方加横表示复共轭．有鉴于处理程_5]，而两种不同的边界条件～一零／非零边值条DNLS方程的现有经验，现尝试用解形式(2)以及双件下的导数非线性薛定谔方程可用于分别描述不同线性导数变换直接求解零边值条件下的DNLS方的具体问题．因此，DNLS方程不仅具有深广的物理程．背景，而且具有重要的

4、数学价值与意义．在求解DNLS方程方面，通过一些学者的努力，一些开创性2双线性导数变换的基本概念与一般性质和基础性的工作已经取得相当的进展[1]．对于零Hirota对双线性导数的定义为边值条件的DNLS方程，其单孤子解已通过反散射变换技术获得n]，多孤子解也借助于不同途径得到DTD~A·B一(一)(一)不同形式的解析表达式]，尤其是文献[4]通过运A(z，)B(x，t)1tI一￡，，：(3)用Backlund变换得到一个类似于范得蒙德行列式其中D为双线性导数算符．它不同于常规导数算符形式的多孤子解，文献[5]运用新改

5、进的不同于d．这里，A，B是两个任意阶可导的函数，其间的圆Kaup的反散射变换得到了一个显式的N孤子解．但点表示一种有序乘积，不可随意颠倒．*国家自然科学基金资助，项目编号：10775105作者简介：周国全(1965一)，男，博士，副教授，研究方向为非线性可积方程与场论一93—2014年第4期物理通报物理问题研究Hirota双线性导数有一些很独特的性质．现将(iD+D)If·1+1·厂‘+后文要用到的两条重要性质罗列如下．厂“’·厂“]一0(18)性质1：DD7A·B一(一1)计DD7B·A(4)D[，佗·1+1·f

6、+fu·fn]一性质2：设一(ut+z+?，式中i一1，2；，n(、19)，叩?是复常数，则DDexp(1)·exp(2)一(iD+D)Eg门·1+g·fn+(∞1一∞2)”(，cl一2)exp()71+叩2)(5)g“·f]===0(2O)特别有如下等式(iD+D)If∞·1+1·f‘。+DD?exp(1)·exp(2)一0厂佗·厂“’+，“·，]一0(21)此时1一叫2，或者1===2．D[，·1+1·f∞+f’·fn+3DNLS方程的双线性导数变换，㈩．)：(22)在选取适当的解形式(2)之后，在Hirota双

7、线(iD+D)Eg“·1+g∞·f“’+性导数变换之下，运用罗列于上一段的变换性质，有g佗’·f’+g“·f∞]：0(23)如下双线性导数变换(iD+D)Ef·1+1·‘+厂‘·‘+一f一——一一一丝—————之—广———一(6bJ)，n·厂∞+厂·-厂]一0(24)D[厂‘·1+1·f“+f“·f“+“一去FffDg·f一2(Dg·，)(Df·厂)+厂n’·厂∞+-厂·厂’)]一gCD~f·f—ZgfD~f·厂](7)监(25)(1“12．)一(8)(iD+D)Eg·1+g“·fn+将式(6)～(8)代入式(1)，

8、可将其约化为g∞·厂+g·f∞]一0(26)ff(iD+D；)g·f—gf(iD+D)f·f+式(14)～(26)包含了寻找零边值条件下DNLS方厂。D厂。·[g(2D厂·f—ig)]一0(9)程的孤子解所需的全部信息．从式(9)可抽取出需要的双线性导数方程如下(iD+D)g·f一0(10)4零边值条件下DNLS方程的单孤子解(iD+D)f·f