数学物理方法(复旦马永利)chapter9

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter9DeterminatesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDU下篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数Chapter9数学物理方程的定解问题Abstracts:1.根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程；2.给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题；３.非齐次方程的齐次化；４.数理方程的线性性导致解的叠加原理。一、数理方程的来源（状态描述、变化规律）1.翻译I．

2、ClassicalNewtonMechanics[质点力学mrFrt(,)](Newton)弦2urt(,)22弹性体力学杆振动：aurt(,)0(波动方程);2()弹性定律t膜连续体力学流体力学：质量（流）守恒律：(v)0;tv1热力学物态方程：(v)vpf-0(Eulereq.).tII.ElectrodynamicMechanics(Maxwellequations)DddD;;EdlBdsEBBd0B0;Hdl(jD)

3、dsHjD.EuB,AuA,,满足波动方程。Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。III.StatisticMechanics(Boltzmann-Gibbsstatistics)：T2热传导方程：kT0;t2特别:稳态（0）:0(Laplaceequation).扩散方程：D20.tt1MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter9DeterminatesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDU

4、IV.QuantumMechanics:Schrdinger’sequation(Schrdinger,Heisenberg,Dirac,Fermi,Einstein)2u2iuVu.tm22.分类物理过程方程数学分类振动与波双曲线221u波动方程u022at输运方程抛物线能量：热传导u2ku0质量：扩散t稳态方程椭圆型2Laplaceequationu0二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：(1)定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“

5、无理取闹”（物理乐趣）。（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部的一切高阶无穷小量均可忽略---线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。1．弦的横振动方程（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征横振动的物理量为各点的横向位移u(x,t)，故速度为u和加速度为u.ttt立假设：1）弦的横振动是微小的，1，因此，sintan，2MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter9Determina

6、tesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDUuucos1，又tan，1.xx2)弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T(x,t)始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)。3)所有外力都垂直于x轴，外力线密度为F(x,t).4)设弦的线密度（细长）为(x,t)，重力不计。取局部：在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量：(x,t)dx.222u弧长：dsdxdu1dxdx（即这一小段的长度在振动过x程中可以认为是不变的，因

7、此它的密度x,t不随时间变化，另外根据Hooke定律Fkx可知，张力T(x,t)也不随时间变化，我们把它们分别记为x和T(x).找作用：找出弦段dx所受的力。外力：F(x,t)dx，垂直于x轴方向；张力变化：Tcos

8、Tcos

9、Tx(d)xTx(),x方向紧绷，xdxxTsin

10、xddxTsin

11、xTux

12、xxTux

13、xT