数学物理方法(复旦马永利)chapter7

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2012.04)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDUChapter7FourierTransformsAbstracts：复习Fourier级数，讲解FourierTransforms的定义、性质和物理意义，并与LaplaceTransforms比较；介绍多重FourierTransforms.应用：求解常微分方程；坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理；为求解偏微分方程的定解问题做准备。一、FourierSe

2、ries1.Fourier级数的定义(动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。)定义：设函数f(t)的周期为T，则下述级数称为f(t)的Fourier级数，2n2nf(t)~a0ancostbnsint，n1TT11T2aftt()d01TT2221Tn2其中，aft()costtdn1,2,3,n1TTT2221Tn2bnft()sinttdn1,2,3,.1TTT22引入圆频率（如果t是时间空间的变量），上式

3、可改写为0Tf(t)~aacosntbsinnt0n0n0n111T2aftt()d01TT221T2其中，aft()cosnttdn1,2,3,n1T0T221T2bn1Tft()sinntt0dn1,2,3,.T2Fourier级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichletconditions)]：周期为T的函数f(t)，若满足：（1）f(t)连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期中只有有限个极值(每部分区间内单调

4、)，则其Fourier级数收敛，并且1MethodsofMathematicalPhysics(2012.04)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDUft()在连续点t22nna0anncostbsintft(0)ft(0)n1TT在间断点t.2第一类间断点:在此点tt函数f(t)不连续，但左极限limf(t)和右0tt00极限limf(t)均存在且有限，所以可积。tt00Fourier级数的物理意义：任何周期

5、信号必可分解为直流成分与基波和各高22次谐波的交流成分之和，它们的振幅分别为ab.因此，nn傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrumanalysis).2.Fourier级数的复数形式(简洁)：ein0tein0tein0tein0t利用sinnt和cosnt得f(t)cein0t00n2i2n[discretefrequencies:nn,(0,1,2,,quantumnumbers)],n011T2in0t其中，cfte()dt,(n0,

6、1,2,).n1TT2aibaibnnnnca，c，c.各次谐波的振幅为2c.00nnn223.有限区间非周期函数的Fourier展开（实际体系都有限非周期）：对有限区间非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后作傅里叶展开。设函数f(x)在坐标空间的区间xll,上满足Dirichlet条件，则f(x)的Fourier级数为，nnf(x)a0ancosxbnsinx，lxln1ll1lafxx()d02ll1ln其中，a

7、fx()cosxxdn1,2,3,其复数形式为：nlll1lnbnfx()sinxxdn1,2,3,,lllnnix1lixfx()cellxl，cfxe()ldx(n0,1,2,).nnn2ll2MethodsofMathematicalPhysics(2012.04)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDU注意：这时的Fourier级数只在区间xl,l内有意义，例如：nx1i()x

8、el(lxl).这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质。2ln4.正交完备函数集：在区间xa,b上不恒为零的函数系(x),(x),(x),，若123b()x()dxx0mn；又若对于xa,b上的任意平方可积函数amn(squareintegrablefunction)f(x)，完整性方程（也称巴塞瓦等式）*均成立，则称(x)为区间xa,b上的