数学物理方法(复旦马永利)chapter1

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1ComplexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDUChapter1复数和复变函数一、复数的基本概念(Basicconceptsofcomplexnumber)形如aib(a,bR，i1)的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子）1．复数（Complexnumber）的三种形式：i1)zxiycosisine，（x,yR,,R

2、）代数式：zxiy;（缺点：无法表示多值函数的高相位）三角式：zcosisin;ii1n指数式：ze，其中ei.n0n!iecosisin称为欧拉公式。2)一些术语（terminology）和符号(notation):Rezx,实部（Realpart）,Imzy，虚部（Imaginarypart）.22zmodzxy，模（Modulus）,称为幅角（Argument），记作Argz.而将满足02或0的值称为幅角的主值或主幅角，

3、记为argz，因此有0Argzargz2nyarctanx0n0,1,2.当取xxy0,0argz时，有关系2argzx0,y02yarctanxy0,0xyarctanxy0,0x1MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1ComplexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDU*i*3)z(orz)xiy

4、cosisine，z(orz)称为z的复共轭*或共轭复数(Complexconjugateofz)，当然，z也是z(orz)的复共轭。注意：*复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。**zz的充要条件为RezRez,ImzImz;,.12121212122．复数的几何表示：复平面（Complexplane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点x,yi或,与复数xiy或e做成一一对应，此时的平面称为复平面,其自由矢量为3．复数的运算规则：设zxiycos

5、isinei1，1111111zxiycosisinei2.22222221)加法：zzxxiyy满足交换律和结合律。121212减法：zzxxiyy.121212加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。22)乘法：（iii1）——和多项式乘法一样zzxxyyixyxy1212121221cosisin121212ei12.12zz

6、zz,乘积的模=模的乘积。121212Arg(zz)ArgzArgz，乘积的幅角=幅角的和。1212122特别地，zzz.乘法的几何解释：在0x轴上取单位线段0I，作0zP和0Iz相似，那么P点就表示乘21积zz,这是因为

7、z

8、/1

9、

10、/

11、zz

12、.(

13、

14、

15、zz

16、

17、z

18、)1212122MethodsofMathematicalPhysics(2012.02)Chapter1ComplexnumberandfunctionsofcomplexvariableYLMa@Phys.FDU3)

19、除法：假设z0,1z1zxxyyxyxy2112121221zzi2222222z1z1z1x1y1x1y12cosisin212112ei21.1z22z2，z2.ArgArgzzArg2121zzz11111几何解释（）：先看z1z1zcosisin，若2zzz1，过z点作射线Oz的垂线，交单位圆周于T，过T作单位圆周的切线，1这条切线与Oz的交点就是z，而它z1关于x轴的对称点为.

20、z设z点到z的距离为，22211()11,解得

21、

22、.z若z1，只需先作切线，再作垂线。若z1，zz.4)整数幂：nnninzcosnisinne,ncosisincosnisinn----DeMoivre公式。4．复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式）1）zzzz，三角形两边之和大于