数学物理方法(复旦马永利)chapter4new

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2010.03)Chapter4Analyticlextension,GammaandBetafunctionsYLMa@Phys.FDUChapter4解析延拓函数和函数一、解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性1.零点的定义：设f(z)在a点及其邻域内解析，如果f(a)0，则称za为f(z)的零点。n设fz()czan,(zar),若f(a)0，则必有，n0ccc0，c0.此时，称za为f(z)的

2、m阶零点。01m1m(m1)()m相应地，f(a)f(a)f(a)0，fa()0.零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。2.零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设za为f(z)的零点，若f(z)不恒等于0，且在包含za在内的区域内解析，则必能找到圆za0，使在圆1/m内除za外，f(z)无其它零点。【在多值非解析函数f(z)za(z)中，za虽然为零点，但是又是枝点。】m证明：设za为f(z)的m阶零点，则f(

3、z)za(z)，其中(z)解析，且()a0.由(z)在za连续，即，任给0，存在0，使得当za时，()za().不妨取(a)2，由于1(a)(z)(z)(a)，则得，()z()a()a0.2由此即证得f(z)在za内除za外无其它零点。推论1：设f(z)在D：zaR内解析，若在D内存在f(z)的无穷多个零点z，且limza，但za，则f(z)在D内恒为0.nnnn证明：f(z)在D内连续，lim(

4、)fzfa().若取za的一个特殊序列，za即z，当然仍有，lim()fzfa().而f(z)0，故f(a)0，即za为f(z)nnnn1MethodsofMathematicalPhysics(2010.03)Chapter4Analyticlextension,GammaandBetafunctionsYLMa@Phys.FDU的零点，并且是f(z)的非孤立零点（即f(z)零点的极限点）。在f(a)的邻域中总存在无穷多个f(z)的零点，根据零点的孤立性原理，必有fz()0.

5、推论2：设f(z)在D：zaR内解析，若在D内存在过a点的一段弧l或含a点的子区域g，在l上或g内f(z)0，则在整个区域D内fz()0.这个推论是显然的，因为在l上或g内总能找到一个以za为极限点的序列z，且za.nn推论3：设f(z)在D内解析，若在D内存在过a点的一段弧l或含a点的子区域g，在l上或g内f(z)0，则在整个区域D内fz()0.（做一些相互交叠的圆，即得）。3.解析函数的唯一性：解析函数的唯一性定理：设在区域D内有两个解析函数f(z)和f(z)，且在12D内

6、存在一个序列z，fz()fz().若z的一个极限点zaz也n12nnnn落在D内，则在D内fz()fz().12证明：只需考虑g(z)f(z)f(z)，由上面的推论一，即可得g(z)0，即12fz()fz().12推论1：设f(z)和f(z)都在区域D内解析，且在D内的一段弧或一个子区12域内相等，则在D内fz()fz().12例如，sin2z，2sinzcosz在全平面是解析的，又因为sin2x2sinxcosx，所以sin2z2sincos.zz推论2：设f(z

7、)和f(z)都在区域D内解析，且在D内某一点a满足12(n)(n)f(a)f(a)，f(a)f(a)n1,2,，则在D内fz()fz().121212由上面的条件可知，至少在a的一个邻域内，f(z)和f(z)有相同的Taylor级数表示12式，因此在a的这个邻域内，fz()fz().由推论1，在区域D内，fz()fz().12122MethodsofMathematicalPhysics(2010.03)Chapter4Analyticlextension,GammaandBeta

8、functionsYLMa@Phys.FDU二、解析延拓1．定义：设函数f(z)在区域D内解析，函数f(z)在区域D内解析，而在1122D与D的公共区DD内，f(z)f(z)，则称f(z)为f(z)在12121221D内的解析延拓；反之，f(z)为f(z)在D内的解析延拓。21212．用Taylor级数进行解析延拓k1设fz1()z.D1：z1;k01zi在D内一点，如z，我们有12(n)in!f1n1n0,1,2,.2i