数学物理方法(复旦马永利)chapter13

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDUChapter13柱坐标下的分离变量法Bessel函数Abstracts以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解引入各种柱函数（Bessel函数、虚宗量Bessel函数和球Bessel函数等）。在分析这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1.柱坐标系

2、下的稳定问题（Laplace方程）22211uuuu2220,（1）z211即：uu2uuzz0.（2）令u(,,)zR()()()Zz，代入（2）得：ZRZRRZ0.（3）22(3)得：RZ2R'Z.（4）RZ分离变量得：0.(5)R'2Z.(6)RZ（5）与周期性边界条件(0)(2),(0)(2)2

3、构成本征值问题。解得：mmm(0,1,2,3,),m(){cosmm,sin}.（6）即为R'2Z分离变量R'mZ22m.2RZRZ得：ZZ0.222RRmR0.1MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU这两个方程，先

4、求解哪一个以及如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。如果R()构成本征值问题，则222RRmR0,式中的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。221)0:RRmR0,即为Eulereq.2222)0:RRmR0.（7）dRd()dyxxRy,xddxd记：则：R()yx(),RdRdydydxyddddx代入（7）

5、得222xyxyxmy0,即为m阶Besseleq.22223)0:令k，代入RRmR0得2222RRkmR0.（8）记kxR,()yx()，代入（8）得：222xyxyxmy0,即为虚宗量Besseleq.（9）令：ixtyx,()()t代入（9）得222tttm0,即为Besseleq.2.柱坐标系下的非稳定问题（振动、输运方程）22urt(,)aurt(,)0;tt22urt

6、(,)aurt(,)0.t令u(,,,)ztTtV()(,,)z，代入上式得：2MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU2TV2k;2aTV2TV2k.aT2V分离变量得：22TakT022TakT022和VkV0,112此为Helmholtz方程

7、，即：VVVkV0.2zz令V(,,)zR()()()Zz，代入上式得：2m0.ZZ0.2222RRkmR0.2同样要求对k的符号()加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于Zz()的本征值问题）。二、Bessel函数[(圆)柱函数]1.Bessel函数2设kxR,()yx(),则一般地（可以不为整数）解222xyxyxy0yx()AJ()xBN()x，k2k

8、1x其中：J()x，k0kk!12J()cosxxJ()N()x(integer)，sinJ()cosxxJ()N()limxn(integer).nnsinJ():x阶（