数学物理方法(复旦马永利)chapter8

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDUChapter8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数特点：1）过程繁杂乏味,结果简单精彩。2）问题复杂，思路原始。3）想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。4）学思路方法，用时查手册、程序。一、基本概念及通解结构1.二阶线性常微分方程的标准形式y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)

2、f(x)变系数方程，非齐次，其非齐次项f(x)亦称为自由项。y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)0齐次方程y(x)py(x)qy(x)0二阶线性常系数齐次微分方程。00对于一般n阶线性齐次常微分方程，可以用算符L作用到函数y(x)上的形式表示：nn10ddddL,,,,yx()0，nn10dxdxdxdxL是各阶微商的线性函数，最高阶为n，称为n阶线性微分算符。所谓线性，指算符L中，仅仅包含y(x)的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。2.方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇）为进

3、行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数的解析性决定。常点：如果系数函数p(x)和q(x)在xx点是解析的，则0x点称为二阶线性常微分方程的常点。0奇点：如果p(x)和q(x)中的一个（或两个）在xx点是不解析，则x点00称为二阶线性常微分方程的奇点。正则奇点：如果xx点为方程的奇点，但在该点函数xxp(x)和002xxq(x)都是解析的，则x点称为二阶线性常微分方程的正则奇点00（有限阶奇点可解，本性奇点则不可解）。1MethodsofMathem

4、aticalPhysics(2013.05)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDU3.齐次方程的通解结构定理一（迭加原理）：若y(x)和y(x)是n阶线性微分方程12nn10ddddL,,,,yx()Lyxˆ()0nn10ndxdxdxdx的两个解，则Ay(x)By(x)也是该方程的解（A和B是两个任12意常数）。定理二：若y(x)和y(x)是方程12yx()pxyx()(

5、)qxyx()()Lyxˆ()02的两个特解，则y(x)和y(x)线性无关的充要条件是：它们的朗斯12y(x)y(x)12基（Wronski）行列式y,y不为零。12y(x)y(x)12这条定理是显而易见的，令Ay(x)By(x)0，并将其微商，便得到方12程组Ay1By20y1y2.当0时，有非零的A和B解，此即表示AyBy0yy1212y,y是线性相关的。反之，当0时，只有平凡解：AB0，此即12表示y,y是线性无关的（两者比值是x的函数）。12Wronski行列式的性

6、质：i）反对称性：yy,yy,.1221dlogyydlog12ii）对数连续性：yy,

7、0

8、

9、.12xx0dlogxxxx0dlogxx0iii）线性相关性：yy,0(forall)xycyc(const.).1221如果y(x)和y(x)为方程y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)0的两个线12性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线性组合。因此，对于这个方程来说，y(x),y(x)是完备系(基本解)，而12y(x)Ay(x)By(x)为通

10、解。有了通解，再根据定解条件：y(x)和120y(x),就可以确定常数A和B.02MethodsofMathematicalPhysics(2013.05)Chapter8SeriessolutionsoflineardifferenceequationsandsomespecialfunctionsYLMa@Phys.FDU定理三：若y(x)是方程y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)0的一个特解，则1方程的另一个线性无关的特解为（SeeAdv.Math.）1y(x)y(x)expp(x)dxdx.

11、212y1[证明]既然y(x)和y(x)是方程的解，所以12y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)0,(1)111y(x)p(x)y(x)q(x)y(x)0.(2)222由于y(x)和y(x)是线性无关的