数学物理方法(复旦马永利)chapter12

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter12Separationofvariablesinspherecoordinates,LegendrepolynomialsandharmonicfunctionsYLMa@Phys.FDUChapter12球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数Abstracts正交曲线坐标系及在此坐标系下方程的变量分离，尤其是球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例Legendre函数、连带Legendre函数和球谐函数等）。函数空间概念(复习

2、)3D：基矢：ejj1,2,3；正交：eeijij；表示：xxe11xe22xe33,这是3DEuclidspace，直观、简单、符合常识。(3+1)D：是加t，还是加ite，如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有4了相对时空位置，还有了scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。nD：基矢：()xjn1,2,3,,，带权x正交归一性：j*xixjxdxijD：Hilbertspace,抽象、复杂、冲破常识！基矢亦是函数，scaling,straightcur

3、ve.j：quantumnumbers.对于任意函数（只要其定义域是与j()x相同的），总有fxcnnx,n1**其中ddxxmxfxcnxmxnxxcmisarepresentation!n11．nD向量空间:有nD向量的集合.1)表述：n个独立的单位矢量ee,,,e排成基向量，选e为正交归一基12,njn矢，即eeijij，则xxejj和xjjxe（在ej上的坐标值—表示）。j1n*2)内积：xyxy,.xyjjj1nn22*

4、3)模方：xx,.xxjjxjxjj114)基矢的完备性：nD空间有1D矢量系ejn1,2,,，若不能在此空间jn找出一个简单向量f，使f与ej正交，则称为完备系，xxejj.j11MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter12Separationofvariablesinspherecoordinates,LegendrepolynomialsandharmonicfunctionsYLMa@Phys.FDU2．函数空间（Hilbertspace）：

5、在域xab,上分段连续、平方可积的函数b*x[()()dxxx有限]的集合所排成的空间称为Hilbertspace.an1)正交函数系：如①xl0,内sinx,lnn②xll,内1,cosxx,sin均为完备基。ll一般带权正交函数系的定义：设x,x,,x,,在xab,上有12nb*2mx,nxxmxnxxdNnmn，a则称x是在xab,上的带权[x0

6、]正交函数系。把nb2*2nx,nxxnxnxxdnxNn叫模之平方，若a2nxNn1（对于所有的n）叫jx为正交归一函数系Nn(Asetoforthogonalcompletenormorlizedfunctionbases).2)广义Fourier展开(expansion)：若x是xab,上的正交完备系，则nxab,上任意分段连续（平方可积）的函数fx可表示为fxcnnx,n1b*fxnx()xxda其中c.

7、nb*nnxx()xxda一、正交曲线坐标系1．从直角坐标系到正交曲线坐标系xrsincos,球坐标系(r,,)关系:yrsinsin,zrcos.xcos,柱坐标系(,,z)关系:ysin,zz.2MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter12Separationofvariablesinspherecoordinates,LegendrepolynomialsandharmonicfunctionsYLMa@Phys.

8、FDUxxqqq(,,),123一般曲线坐标系(q,q,q)关系:yyqqq(,,),123123zzqqq(,,),123x/qx/qx/q123