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1、MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter12Separationofvariablesinspherecoordinates,LegendrepolynomialsandharmonicfunctionsYLMa@Phys.FDUChapter12球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数Abstracts正交曲线坐标系及在此坐标系下方程的变量分离,尤其是球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数(例Legendre函数、连带Legendre函数和球谐函数等)。函数空间概念(复习
2、)3D:基矢:ejj1,2,3;正交:eeijij;表示:xxe11xe22xe33,这是3DEuclidspace,直观、简单、符合常识。(3+1)D:是加t,还是加ite,如何去加?时空观的变革:相对运动,不但有4了相对时空位置,还有了scaling(标尺)、不变性和时空弯曲等概念。nD:基矢:()xjn1,2,3,,,带权x正交归一性:j*xixjxdxijD:Hilbertspace,抽象、复杂、冲破常识!基矢亦是函数,scaling,straightcur
3、ve.j:quantumnumbers.对于任意函数(只要其定义域是与j()x相同的),总有fxcnnx,n1**其中ddxxmxfxcnxmxnxxcmisarepresentation!n11.nD向量空间:有nD向量的集合.1)表述:n个独立的单位矢量ee,,,e排成基向量,选e为正交归一基12,njn矢,即eeijij,则xxejj和xjjxe(在ej上的坐标值—表示)。j1n*2)内积:xyxy,.xyjjj1nn22*
4、3)模方:xx,.xxjjxjxjj114)基矢的完备性:nD空间有1D矢量系ejn1,2,,,若不能在此空间jn找出一个简单向量f,使f与ej正交,则称为完备系,xxejj.j11MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter12Separationofvariablesinspherecoordinates,LegendrepolynomialsandharmonicfunctionsYLMa@Phys.FDU2.函数空间(Hilbertspace):
5、在域xab,上分段连续、平方可积的函数b*x[()()dxxx有限]的集合所排成的空间称为Hilbertspace.an1)正交函数系:如①xl0,内sinx,lnn②xll,内1,cosxx,sin均为完备基。ll一般带权正交函数系的定义:设x,x,,x,,在xab,上有12nb*2mx,nxxmxnxxdNnmn,a则称x是在xab,上的带权[x0
6、]正交函数系。把nb2*2nx,nxxnxnxxdnxNn叫模之平方,若a2nxNn1(对于所有的n)叫jx为正交归一函数系Nn(Asetoforthogonalcompletenormorlizedfunctionbases).2)广义Fourier展开(expansion):若x是xab,上的正交完备系,则nxab,上任意分段连续(平方可积)的函数fx可表示为fxcnnx,n1b*fxnx()xxda其中c.
7、nb*nnxx()xxda一、正交曲线坐标系1.从直角坐标系到正交曲线坐标系xrsincos,球坐标系(r,,)关系:yrsinsin,zrcos.xcos,柱坐标系(,,z)关系:ysin,zz.2MethodsofMathematicalPhysics(2013.06)Chapter12Separationofvariablesinspherecoordinates,LegendrepolynomialsandharmonicfunctionsYLMa@Phys.
8、FDUxxqqq(,,),123一般曲线坐标系(q,q,q)关系:yyqqq(,,),123123zzqqq(,,),123x/qx/qx/q123