数学物理方法(复旦马永利)chapter14 gf

《数学物理方法(复旦马永利)chapter14 gf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十四章格林函数--偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：A:数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数形式的解，要求是特别的边界条件。B:理论物理中的Green函数方法：简单的有理形式解，任意的边界条件！1，Green函数的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布，它在1）空间：源函数；2）时空：传播函数。数学上:具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。2，Green函数的分类：边界值Green函数：Grr(,')源函数；初始值Green函数：Grtrt(,;',')传播函数。3，Green

2、函数的性质：1）对称性：Grr(,')Grr(',)与定解问题相关，即与厄米性相关。2）时间传播函数没有对称性：Grtrt(,;',')Grtrt(',';,).23）存在的必要条件：设方程()(,')Grr(rr')，若λ是对应齐次方程2的本征值，即和附加齐次边界条件，则Grr(,')不存在（既有点源：(rr')，又无流：本征值问题存在，但是没有激发，物理上自相矛盾！）4，Green函数边值条件：选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。G1）齐次边值条件：(G)

3、0.

4、n2）有解性（解收剑）：G

5、0--基本解。r5，Green函数的用途：偏微分方程的积分解法：1）求Grr(,')；2）利用迭加原理给出待求解ur()的积分形式。6，Green函数的求法：211)特殊方法：G(rr')G.

6、rr'

7、2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。4）积分变换法：LT，FT.5)形式解：算子运算。114.1Green函数与偏微分方程1，定义：Green函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子)数学上，含点源

8、的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解；物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。例1，PossionEquation:22u4(),rGrr(,')4(rr'),uG

9、0.

10、0.1Grr(,'),ur()Grr(,')(')rdr'

11、rr'

12、基本解---无界空间Green函数的叠加。例2，HelmholtzEquation：22()u4(),r()(,')Grr4(rr'),uG

13、0

14、.

15、0.ur()Grr(,')(')rdr'(seebelowforthesolution,(,Grr'):Field;('):Source).r例3，波动方程，222au(,),rt2tu

16、0,

17、u0,u

18、0.ttt222aGrtrt(,;',')(rr')(tt'),2tG

19、0,G

20、0,G

21、0.ttt在含时Green函数Grtrt(,;',')中，为方便计，我们将它简记为Grr(,').2,HelmholtzEquationandLaplace

22、Equation解的积分形式（在定解问题中求G）设定解问题，2()ur4(),(1)(uu)

23、f(),(2)n对应于2()(,')Grr4(rr')(3)(uu)

24、0(4)n作算符运算：[(,')GrrEq.(1)urEq().(3)]dr得22[(,')Grrur()ur()Grr(,')]dr4[(,')Grrur()]dr对上式左边利用Green公式得：()GuuGdnn21ur()Grr(

25、,')故有形式解ur(')Grr(,')()rdrGrr(,')ur()d（5）4nn在Grr(,')已知的前提下，解（5）也不是ur()用Grr(,')表示的最后形式。这是因为urur(),()在边界上还未知（最多知道他们在的线性组合）。幸好Grr(,')的n边界条件尚没有给定；只要选定G的边界条件为齐次，则urur(),()或者其线性n组合就可为已知的边界条件，从而最后确定ur().例如：1）第一类边界条件：0,1,

26、uf(),

27、G01Gr()ur(')Grr

28、(,')()rdrur()d.4n2）第二类边界条件：1,0,u

29、f(),G

30、0nn1ur()ur(')Grr(,')()rdrGrr(,')d.4n3）第三类边界条件：,0