时标上二阶中立型动力方程的振动性new

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1、山西大学学报(自然科学版)30(2)：133～135，2007JournalofShanxiUniversity(Nat．Sci．Ed．)文章编号：0253—2395(2007)O2—0133一O3时标上二阶中立型动力方程的振动性赵爱民，赵建军(山西大学数学科学学院，山西太原030006)摘要：考虑时标上一类二阶中立型动力方程，给出方程所有解振动一个充分条件，推广了已有文献中的相关结果．关键词：时标；中立型动力方程；振动中图分类号：O175文献标识码：A时标上动力方程振动理论是动力方程定性理论的一个重要分支，近年来受到国内外学者的广泛关注，见文献[1～4]及其参考文献．关于时标的基

2、本理论可见文献[5～7]．在文献[8]中，LinXiaoyan讨论了二阶中立型时滞微分方程(z()～P()z(一r))+g()。(z(一))一0的振动性，得到了方程所有解振动的充分条件．本文考虑定义在时标71上的二阶中立型动力方程(z()一p(t)x(t—r))+∑(，x(t一))一0，(1)其中户EC(T，耐)，r，E(O，。。)，使得对所有tET，有tIr，t一ET，厂fEC(T×R，R)，i一1，2，⋯，n．得到了方程所有解振动的充分条件，推广了文献E8J中的相关结果．为方便起见，先列出所需条件．(H)存在P∈(O，1)，使对充分大的zET，成立P(z)≤P．(H)对一1，2

3、，⋯，n，存在EC(R，R)，gEC(T，耐)，单调不减，使当u=／=o时有一fi(u)>0且()≥⋯’引理1设(H。)，(H)成立，>r，一1，2，⋯，．如果j。南<(2)且1∑(一r)g(t)At：oo，(3)其中F(“)一min-f()，则方程(1)不存在最终正解．证明反证法．设(1)存在最终正解z()，则存在to>0，使得当z≥。时，z()>o，P()≤P．令Y()一z()-p(t)x(t-r)，则由方程(1)有yaa()一一∑(，x(t一))≤o，tEEt。+，。。)，且()最终不恒为零，其中一max3·于是ya(z)单调不增·。≤收稿日期：2007—03—08基金项目：

4、山西省自然科学基金(20071001)；教育部高校博士学科点专项科研基金(20040108002)作者简介：赵爱民(1963一)，男，山西古交人，教授，从事微分方程的研究工作．山西大学学报(自然科学版)我们先证明Y(f)>0，t∈[-t。+，co)．(4)若不然，则存在tl≥f。，使Y(f)<0．从而Y(f)≤Y(f1)，t∈[-tl，∞)．于是有limy(t)≤lim((f1)+Y(f1)(f—t1))一一∞．(5)由(f)的定义知必有limsupx(t)一。。．从而存在T中点列{t)，满足limt一。。，z()一maxz(f)，limz(f)一女一。。t~_tk一。。END．于

5、是知y(tk)一x(tk)一P(tk)x(tk—r)≥x(t女)一P()z()≥(1一P)x(t女)一∞(志一co)，与(5)矛盾．故(4)成立．我们再证明(f)<0，t∈Ito+，∞)．(6)由(4)~-fly(t)7~E[t。+，。。)为单调递增的．若(6)不成立，则存在t∈(f。+，。。)，使y(t)>0．从而当f≥f时，有z(f)一Y(f)+P(f)z(f—r)≥(f)≥Y(f1)>0．从而由方程(1)，当f≥f2一f+23时，有nn0一(f)+∑(f，x(t一))≥yaZ(f)+∑q(f)(z(f一))≥(f)+F(y(t))∑q(f)，i=1l1t一1进而有≤㈤厶≤，i

6、=1与条件(3)矛盾．故(6)成立．另一方面，当f>f。时有z(f)≥1户(f+r)z(f)>(户(f+r)z(f)一z(f+r))一一(f+r)，从而由方程(1)知，当f>f。+时，有(f)+∑q(f)(一P一y(t+r一))≤0．上式两边从t到。。积分，可得一(f)+f。。qt()(P(+一))△≤一(。。)≤0．t再结合的单调性，就有0≥一(f)+f。。g(5)(一p-ly(5+一))△s≥一(f)+f件一。g(5)(一p-ly(5+一))△s≥一(f)+ft+Si-rg(5)△s．F(一p-ly(f))．令z(f)一一P(f)，则z(f)>0，且满足P(f)+ft+Si-r

7、g(5)△s．F(z(f))≤0，f∈。+，。。)．(7)注意到z(f)≤0且F(“)关于“单调不减，由A导数的链式法则有：志d“)△={一雨一赢从而赵爱民等：时标Az-阶中立型动力方程的振动性135一J△≤志d≤南．．F(2(f))一J(丁)’()～、J0’()于是对7T>f≥f。+由(7)与(2)知有JfTfnJpt+~t_rq)厶≤一尸≤尸“而dR