二阶非线性中立型差分方程的振动性与渐近性.pdf

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1、第33卷第5期嘉应学院学报(自然科学)VoJ．33NO．52015年5月JOURNALOFJIAYINGUNIVERSITY(NaturalScience)May2015二阶非线性中立型差分方程的振动性与渐近性郑允利(徐州生物工程职业技术学院基础部，江苏徐州221006)摘要：利用分析的方法和不动点原理，研究了一类不稳定的二阶非线性中立型差分方程，给出了该类方程有界解振动的一个充要条件及非振动解趋向于零的一个充分条件，对已有文献中某些结果进行了推广和改进．关键词：振动性；渐近性；中立型差分方程；有界解中图分类号：0175．7文献标识码：A文章编号：1006—642X(201

2、5)05—0015—04O引言gf(／／,)0，i：2，⋯，；理论的研究近年来十分活跃．许多学者对二阶中立()u／／,，u1，／／,2，⋯，／Z)I>0，型时滞差分方程的振动性、渐近性及正解的存在性“1／／,i>0，i=2，⋯，m．作了探讨，取得了大量成果¨．任荣霞，吴淑慧在方程(1)的解称为振动的，如果它既不最终为文献⋯中讨论了二阶不稳定

3、中立型非线性差分正，也不最终为负，否则称为非振动的．方程(1)称方程为振动的，如果方程(1)的所有解都是振动的．△((n))一P(n)(／／,一))=为叙述方便，记Z-(n)=(t／,)-p(n)(17,一．r)．／7,，(n，(g(，毫))，>／／,0，建立了该方程分别在P(／7,)满足的不同条件下，每个1主要结果有界解振动的四个充分条件．孙喜东等在文献[6]引理1设条件()～()成立，且满足中讨论了二阶不稳定中立型差分方程0

4、凡0，厂(n，(g(／7,))，(g(n))，“，(g(T／,)))(2)在g(，1)>n及g()<，l时，给出了该方程正解趋向有最终有界正解，则存在自然数，l>0，当t／,≥n，于零的三个充分条件．时，有在此基础上，下面将讨论更一般的二阶非线性△(n)>0，△童(托)<0，(／7,)>0，中立型时滞差分方程且1imZXz(n)=a≤O，“g(，1)=／31>0．△((n))-p(凡)(n一))=证明由于差分不等式(2)有最终有界正解{几，x(g(n))，x(g：(n))，⋯，x(g(凡)))，n>In。(1)(n)}，必存在自然数n。≥0，当，l1>n。时，有(n)>的振

5、动性和渐近性．其中是正整数．0，(g(n)>0，=1，2，⋯，m。由条件()知。(rt,)首先假设下列条件成立：有界，根据式(2)及条件()有△(／／,)>0，故△。(H1){P(n)}是有界实数序列；{g()}是正(／／,)最终定号且()>0．如果△()>0，则z(／'L)整数序列，且满足无界，这与z(n)有界矛盾，所以△(n)<0；若存在t／,1≥n0，当n≥，l1时，有(n)<0，即(n)

6、方向：差分方程定性理论．一后r)成立，根据010，有戈(—下)≥一占，所以△(，z)<0，：()>0易得，存在且／31>o．证毕．M=limz(，)=im(x(f)一(忍f—))≤n—¨0I_●∞。引理2若条件()成立，则差分不等式(2)im(x(，)-p(n『)(h一占))．无最终正解当且

7、公当差分不等式由的任意性，有≤limx(，1)(1一P)，即△((n)-p(n)x(／／．一．r))≤li~mx(n)≥J7l(1一p)．(5)__7／,，x(g(，1))，(g(n))，⋯，(g(n)))(3)由式(4)和式(5)得limx(n)存在，且等于(1一无最终负解．p)．证毕．证明充分性．假设差分不等式(3)有最终负定理1若条件(日)一()成立，且满足解{(n)}，则0