时标上一类非线性中立型微分方程的振动性-论文.pdf

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1、ValueEngineering·313·时标上一类非线性中立型微分方程的振动性OscillationofCriteriaforSecond-orderNonlinearNeutralDiferentialEquationsonMeasureChains吴会宁①WUHlli—ning；张华②ZHANGHua(①石家庄学院，石家庄050035：②中国银行秦皇岛分行，秦皇岛066000)((~)ShijiazhuangCollege，Shijiazhuang050035，China；~)BankofChinaQinhuangdaoBranch，Qinhuangdao066000，Chi

2、na)摘要：考虑了时标上一类非线性二阶中立型微分方程的振动性，获得了所有解振动及所有解的delta导数振动的充分条件。Abstract：Inthepaper，itconsiderstheoscillationofcriteriaforsecond—ordernonlinearneutraldiferentialequationsontimescales，andobtainssomeconditionsofoscilationforalsolutionsandallsolutionsdeltaderivative．关键词：时标；中立型；振动性；delta导数Keywords：time

3、scales；neutral；oscillation；deltaderivative中图分类号：O175．1文献标识码：A文章编号：1006--4311(2014)05—0313—021研究背景△z(t)>0o自1988年StefanHilger在他的博士论文中首次提出测度链上的微分方程理论以来，测度链上时滞动力方程的定理l若∑pi(t)-<1，且f．∑qi(s)(1一∑(s)))△s=研究成为目前国际上关注的一个新课题，对其研究具有重+oo，则(1)的所有解振动。要的理论价值和实际应用价值。而对于许多情况，只需考证明不妨设x(t)是(1)的一个最终正解，由引理1知虑测度链的一种特

4、殊情形——时标，时标指的是实数R的任意一个非空闭子集，以符号表示。详细的有关时标的z(t)>0，z(t)>0，由z(t)：x(t)+pi(t)xi(t))，得理论见文献f2，5，6】。本文考虑时标上二阶非线性中立型微分方程x(t))=z(rj(t))一∑pi(rj(t))x(t)一，ri(r=j(t)))(4)(x(t)+∑pi(1)xi(t)))+∑qj(t)‘(x(t)))：0，tt0>0(1)i=lj=1由z(t)：=一∑qj(t)fi(x(r<0，得J=1的振动性，其中pi(t)，qJ(0∈CId([t0，∞)，R)，0下i(t)

5、减，qj(t)不最终恒为零，fj(x)／x>_j>0，i=l，2，⋯z(【)=一qj(t)‘(x(t)))≤一qj(t)8jx(I=j(【))s0(5)n，j=l，2，⋯m，本文中记e=min{ej)，r(t)=min{rj(t))，z(t)=x(t)+将(4)代入(5)得z(t)+∑qj(t)【z(I=i(t))～∑pi(t))x(I=i(c)一∑pj(t)x(i(t))。：1Tj(I=i(t)))]0，2主要结果引理1设x(f)为(1)的非振动解，若x(t)最终为正(负)，注意至0z(t)≥x(t)，得z△A(t)+∑qj(t)￡j[z(t))一∑pj(t))z则最终有z(f)

6、>0(z(t)<0)。(I=j(f)一TI=i(t)))]0，又z(t)0，故z((t))；兰z(I=i(t)一Ti(I=i(t)))，证明假设x(t)为(1)的最终正解(最终负解同样可证)，即存在充分大的tt>-to>0，当tt1时，x(t)>O，x(t))>0，x(ri(t))从而推出z(c)+∑qj(t)ej【∑pi(1))]z(ri(t))-0，易知z(1)=x(t)+2pi(t)x('ri(f))；兰0t1到t积分，有z(t)’z(c1)+~qj(s)ej[Pi]z△s<0且zA△(f)：一∑qi(t)‘(x(t)))0(2)。j=1△Af‘z(t)-z(

7、1)+z(r(t))sf．qj(s)[Pi(s))]△s≤0故知(t)单调递减，且(t)>0。若不然，则(t)-<0，因为％(t)不最终恒为零，故(t)不最终恒为零，故存在t2，当故当to。，有JiqJ(s)[Pi(s))]△s+∞，这与已tt2>-t1，有知矛盾。z(t)-0，且f．∑qi(s)△s：+∞，则对方程对(3)式从t：到t积分，有(t)一z(t2)f．z(t2)△s：(t2)(t—J=1(1)的任何解x(t