泛函分析 答案(张恭庆)2.4节

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1、2.4.1fx00()==fx0(0)p(x0)(1)在齐次性中,取x=
,(2)pxp()000=()xpx()=2pppp(22



)=()()=2()=px(00)==px()f0(x0).由此可见,xX,有0p()
=0.fxpx0()().(2)于是根据Hahn-banach定理2.4.1,0==p(
)pxx()px()+px()即得结论.px()px()2.4.2t>0,ptx()=limtxnn(3)令Xx={},00==txtlimpx().nfxfx()===()fx()px()n000000

2、==11pxy(+=)lim(xynn+)nfx00()===fx0()0px()()0px0.xy+=+p(x)p(y)limnnlim.xX,是否有nn02.4.3令fxpx0()()?即=1R,1fxpx?Xxf=={}()(),xfx00()(0)000000=10显然是正确的.当<0,==px()()00px.12fx00()===fx(00)fx(0)

3、

4、px(0)supxfnn,=supfx,nn==pxpx(0)()=

5、1(),s.t.由共鸣定理,xMnX.即得(1)fxpx1()()(xX)xxMnnX,=X.(2)fxfx()=()(xX)2.4.5100再令fx()=fx1(),即有证由习题2.1.8,px()0fx()=(xNf,,())(xX0)(1)fx()====fx10()fx00()px(0)1;sup{fx()

6、f
X,f==1,f(X0)0}0px()000px()px()(2)fx()=fx1()px()()x,X;0px()00px()另一方面,等式即得结论.2.4.4sup{fx()

7、f
X,f==1,f

8、(X0)0}证xn
XXLX,=(K,)=()x,X0对x
X显然成立.xx==.,,xffx.0nnXX,nn对xX,由定理2.4.7,034存在若满足所说条件的f
Xfff
X,===1,(X00)0,f(xx)(,X.)存在,则nnn故有kkCf==k()xkfkkxsup{fx()

9、f
X,f==1,f(X0)0}kk==11!k=1nn=()x,X.0fxkkMxkk.2.4.6设X是线性赋范空间.给kk==11若所说的不等式成立，设定X中X中n个线性无关元xx,,,x与K中n个数Ex=sp

10、an{n,1n},12nncc12,,,cn，以及M>0，求证:为xx=kk
E,了存在fX
，满足k=1定义

fM，nfx(),1jj==cj,2,,n，必须且仅fx0()=kkC,k=1须对,,,
K,有12nnn特别是fxC0(kk)=,并由充分性

11、

12、jcMjj

xj.假设,jj==11()56nf
X,使得ifx0()=kkCMxf0MxEk=1"fi=1fi'fi=d再根据Hahn-Banach定理,'if
X,使得#fMi()ii=00fx()j=()ji&,'"fxfxx

13、E()=0()
,'fxdi()ii=$#ffM=.$0fx()=1.ii2.4.7设xx,,,x是线性赋范12n2.4.8空间X中线性无关元，求证M是极大线性子空间的充分且ff,,,fX
，使得12n必要条件是，M是线性真子空间,fx()==%ij,1,2,,.nijij并且11求证=(),但()&.xM
X
有0证X={xM

14、
R.1}(0Mxdij==span{},,i()xiMi,思路:对照命题2．4．101jnji&证如果M是线性真子空间,并则di>0.且xM0
X
有1由推论2.4.7,

15、对Mi,di>0,X={xM0

16、
R.}(那么78[]i
i
xM
X,xx
[],fex()=Refex()1xM1
,
R,使得2.4.10xxx=+01证由Ascoli定理,存在实线性连[xx]=+=+,-.01x+,-.x0故续泛函gx()及0>0使得dimX(M)=1.gx()<<0g(x0)如果dimX(M)=1,那么supgxgx()<(0)xE
xM
X,
[xM]
X,0(1)1
R,[x]=+,-.x0令fx()=gxi()+gi(x),则+,-.xx
0=[]xxMxx0




17、{M2.4.9(1)1supfx()=