数字信号处理(理论算法与实现)第11章

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1、第十一章第十一章经典谱估计经典谱估计11.1概述11.2自相关函数的估计11.3经典谱估计的基本方法11.4经典谱估计的质量11.5经典谱估计的改进11.6经典谱估计算法比较11.7短时傅里叶变换11.1概述请抓住并搞清楚如下四个问题：功率谱为什么要估计？如何估计？如何评价估计质量？如不理想，如何改进？平稳随机信号功率谱的两个定义平稳随机信号功率谱的两个定义：：jjmPeX()rmex()m集总平均21MPe(j)limExne()jn两者等效XM2M1nM

2、2Xe(j)limEM2M1求极限运算求均值运算随机信号的单个样本平稳信号Xn()单一样本xni(,)xn()截短x()nMPe(j)jXPex()Pe(j)M可将xM()n看作能量信号，因此，可对它作傅立叶变换，并得到功率谱：2Mj1jnPeM()xM()ne2M1nMx()nj问题：M的功率谱PeM()和单个样本的j功率谱Pe()有何关系？和整个随机信号的x功率谱j有何关系？Pe()X1.求极限：2Mjj1jnPex()limPeM()

3、limxM()neMM2M1nMjj2.求均值：PeX()EPex()单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的功率谱，因此必须有求均值运算，此即如下定义的来历：21MjjnPeX()limExM()neM2M1nM各态遍历信号也是如此。21Mjjn证明：PeX()limExM()neM2M1nMMM1j(mn)limExM()mxM()neM2M1nMmMMM1j(mn)

4、limrmnex()M2M1nMmM双求和变成MM2Mgmn()(2M1kgk)()单求和：nMmMk2M证明了两个公2Mkjjk式等效。所以PeX()lim(1)()rkexMk2M2M1自相关函数是jkrkex()集总自相关。k功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长，即需要集总平均。实际工作中，我们往往能得到的是：1.单一的样本；2.单一样本的有限长数据；问题：如何用这单一样本的有限长数据去估计原随机信号真实的自相关函数和

5、功率谱11.211.2自相关函数估计自相关函数估计目的：自身估计的需要；功率谱估计的需要定义：*rm()EXnXnm{()()}x集总自相关N1*rmx()limxnxnm()()N2N1nN时间自相关估计方法：N1m1rmˆx()xnxnm()()Nn0实际求出的自相关函数从估计方法上看，实际上是把随机信号“视为”单样本有限长的确定性信号。问题是：近似质量如何EstimationEstimateEstimator（估计子）自相关函数估计的质量：单个样本偏差N1m1rmˆx()

6、xnxnm()()Nn01.偏差估计方法bir[()]rmˆErm{()}ˆrm()来自定义N1m1Erm{()}ˆE{xnxnm()()}Nn0N1m1Exnxnm()()Nn0Nmrm()所有样本Nm所以：bia[()]rmˆrm()含义N(1)m固定，N,bia[()]0rmˆ渐近无偏估计(2)N给定，mNrm,()ˆ接近rm()对固定的N，此结论给出了m的选取原则(3){()}Ermˆwmrm()()(3){()}Ermˆwmrm()()Nmwm()

7、,N三角窗:(N1)~(N1)那儿来的三角窗？在数据上加矩形窗，长度为N，该矩形窗函数的自相关函数正是三角窗！注意矩形窗加在数据上，三角窗加在相关函数上，体现在估计的自相关函数的均值上。2.方差来自定义2方差var[()]rmˆErm{[()ˆErm{()}]}ˆ22Ermˆ()[{()}]Ermˆ包含两项22NmErˆ(m)r(m)前面结果NN1mN1m21Ermˆ()E2xnxnm()()xkxk()(m)Nn0k012

8、Exnxkxnmxk()()()(m)Nnk四阶统计量！由：零均值高Exnxkxnmxk()()()(m)斯分布22rnk()rm()rnk(mrk)(nm)N1m最后1mi导出var()rmˆ1Ni(N1m)N2ri()rimrim()()有：N,var