数字信号处理(理论算法与实现)第10章_2

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1、10.410.4平稳信号的各态遍历性平稳信号的各态遍历性N1xEXn{()}limxni(,)NNi1对样22xEXn{()x}本求N2和1limxni(,)xNNi1这种平均称为“集总平均（EnsembleAverage)”，需要无穷多样本。Khintchine证明了：在具备一定的条件下，观察时间足够长的平稳过程的一个样本函数xni(,)的“时间平均（TimeAverage)”等于其集总平均,于是，可以用其任一个样本来得到其数字特征。此性质称为“各态遍历性（Ergodic)”。M1xlimxn()M2M1n

2、M对时M212xlim[()xnx]间求M2M1nM和M1rmx()limxnxnm()()M2M1nM定义：如果Xn()的集总均值和其单一样本的时间均值依概率1相等，则称Xn()的均值具有各态遍历性。如果Xn()的集总自相关和其单一样本的时间自相关依概率1相等，则称Xn()的自相关函数具有各态遍历性。如果Xn()的均值和其自相关均具有各态遍理性，则称Xn()为各态遍历随机过程。21MElimxn()EXn{()}0时间M2M1nM集总均值均值例1Xn()Asin(

3、n)随机相位单一样本正弦波xn()Asin(n)很容易证明：0xX所以是各2Arm()cos(2fmT)rm()态遍历的xsX2由于随机幅度正弦波不是平稳的，所以它更不是各态遍历的。Xt()例21Xt(,1)Xti(,)tXt(,2)1信号Xt()的取值在（－1～1）之间均匀分布，但每一个样本的值不随时间变化。显然，该信号是平稳的，但不是各态遍历的。结论：平稳信号不一定是各态遍历的例3相关函数用于信号检测xn()sn()un()观察信号信号噪声rmsx()Esnxnm()()Esnsn()[()un()]

4、rm()rm()ssu注意此处求相关的方法和第1章的区别！rm()0,rm()rm()susxs若已知sn(),即可由rm()来判断sxxn()中有无sn()若不知sn(),但知道它是周期的则,rm()Exnxnm{()()}rm()rm()xsu2rm()应是周期的。rm()u()msu可由rmx()来判断sn()的有无及性质例4相干平均（coherenceaverage)xni(,)sni(,)uni(,),i1,2,,M记录确定噪声允许多信号信号信号次试验将M个样本在对应时刻相加，集总平均：MMM111xni(,)

5、sni(,)uni(,)Mi1Mi1Mi1不随样本变化MM11则：xni(,)sn()uni(,)Mi1Mi12令sn()的功率为P，un()的功率为u，2平均前：SNRP/信噪比u提高了平均后：SNRMP/2M倍u思考：什么条件下，信噪比可提高到M倍相干平均：一种常用的弱信号检测方法10.5信号处理中的最小平方估计一、对确定性信号例1实值二次型函数的最小值TTg()XXAX2bXcN1NN对称阵N1g()X2AX2b0X注意矩阵向最小二乘解XAb1量的求导0例2信号的最小平方估计问题的提法：设有M个

6、信号：xnii(),1,2,,M现希望用这M个信号估计信号yn()。估计方法：采用线性最小平方估计：M令：y()ˆnaxnii()i1寻找向量a[,a,a]T1MN12使Eyn()y()ˆnn0N是信号N12的长度en()最小n02N1M由：Eyn()axnii()n0i1T记：y[(0),y,(yN1)]Te[(0),e,(eN1)]HeyXa-EeeHHHHHHEyyaXyyXaaXXa式中：x1(0)xM(0)XxN(1)x(N1)1M令：E

7、2XyH2XXaH0aH1Haˆ(XX)Xy最佳的aHHEyyyXaˆ最小误差H1H(XX)XXX的伪逆aˆXy最佳解的伪逆表示对随机信号，“估计”是基本方法。有时要求估计信号本身，更多的是估计信号的参数，如：2j,,(),rmPe()xxxx二、对随机信号例3参数最小均方估计已知：随机信号xn()的N个值x(0)~(xN1)用来估计xn()的一个参数.:复随机变量，标量估计方法：采用线性估计N1ˆ*xn()Hxnn0估计的均方误差：MSE[]E{

8、ˆ

9、}2HHHMSE[]E{(x

10、)(x)}2HHHrrC