数字信号处理(理论算法与实现)第8章

《数字信号处理(理论算法与实现)第8章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8章正交变换8.1正交变换；8.2K—L变换8.3离散余弦（正弦）变换（DCT,DST）8.4离散Hartley变换（DHT）8.5离散W变换8.6DCT、DST、DWT快速算法（略）8.7关于图像压缩及国际标准（讲座1）8.8重叠正交变换（LOT）（讲座2）8.1正交变换概念概念概念：：：一一、、信号的分解信号的分解设空间X是由N维空间一组向量,,,12N所张成，即Xspan{,,,}12N对任一xX，都可作如下分解：Nxnnn1N信号的离散表示,或xnnn1信号的分解,,,是分解系数12N或信号的变换由x,

2、,,正变换12N由1,2,,Nx反变换如何求出分解系数Step1:设想另有一组向量设想另有一组向量ˆ1ˆ,ˆ,,ˆ212N1满足满足：：1ijˆ2,ˆijij0ij双正交关系(biorthogonality)例如：00.5ˆ11ˆ1112120.5ˆ2210ˆ2显然：,ˆ111,ˆ012,ˆ1两组向量，互22为“对偶基”，,ˆ0或“倒数基”。21NStep2:Step2:做内积做内积xnnn

3、1Nx,ˆ,ˆjnnjn1Nnn,ˆjjn1*xt(),ˆ()txt()()ˆtdtjjj*jxn(),ˆj()nxn()ˆj()nn1,2,,Nˆii对如果：ˆ1,ˆ2,,ˆNi1,2,,N则称1,2,,N为一组正交基。一组正交基满足：1ij,ijij0ij注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不满足正交关系，只是相互之间满足正交关系。几点说明：用向量i表示信号x，会出现几种不同的情况，取决于i的性质：1.如果空间X中的任

4、一元素x都可由i来分解，则称该向量是“完备（complete）”的；2.如果i完备且线性相关，则对x的表示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。i可能构成一个“标架（Frame)”;3.如果i是完备的，且是线性无关的，则它构成X中的一组基向量，这时其对偶向量存在且唯一，即存在前述的双正交关系；这时的基称为Riesz基。4.如果ˆi1,2,,Nii则i是X中的一组正交基。二、信号的正交变换给定数据向量：Tx[(0),(1),xx,(xN1)]及算子ANN矩阵A的行（列）向量即是前面作变换yAx的向量i若：AxAx

5、,xx,y,y则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换A实际上是正交矩阵，NNT1AA以上正交变换是从线性代数的角度来定义。正交变换的性质：性质1：正交变换的基向量即是其对偶基向量。由性质1可知正交变换具有如下的优点：1.若正变换存在，那么反变换一定存在，且变换是唯一的；2.正交变换在计算上最为简单。如果是离散信号，且N是有限值，那么变换只是简单的矩阵与向量运算：yAx3.反变换：1TxAyAy不需要求逆，特别有利于硬件实现性质性质22：：展开系数是信号在基向量上的准确投影展开系数是信号在基向量上的准确投影22x1133非正交

6、基的情况下，“基向量”称为“标架（Frame)”,这时，展开系数不是准确投影。性质性质33：正交变换保证变换前后信号的能量不变正交变换保证变换前后信号的能量不变，，此性质又称为此性质又称为““保范保范((数数))变换变换””。。2*

7、

8、

9、

10、xxnxn()()xx,n22

11、n

12、

13、

14、

15、

16、n此性质实际上是Parseval’s定理，即信号变换前后能量保持不变。注意，只有正交变换才有此性质。性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。NLxnnn,nxˆnnn1n122(,)xxˆ

17、

18、xxˆ

19、

20、xxˆ,xxˆ

21、2(,)xxˆ最小的条件最小的条件：,n1,,LnnN22(,)xxˆnnL1傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计等，均要用到该性质。性质5：正交变换的系数具有去除相关和集中能量的性质。给定一个实对称矩阵C，一定可以找到一个正交阵A，使得：0ACA1ACAT1N1数据压缩的理论基础。后面即将讨论。正交变换的实例：FS，FT,DTFT,DFS,DFT正弦类正DCT，DST,DHT交变换Walsh-Hadamard,Haar变换，非正弦类SLT(斜变换）正交变换正交基的选择原则：具有