数形结合在中学数学中的应用_任天勇

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1、教科园地内江科技2012年第11期204数形结合在中学数学中的应用任天勇南充市第五中学校637000四川南充摘要数学是数与形的统一，用数形结合的思想方法研究问题，就是注意数与形两个方面的结合，或者借助于数的精确性来阐明形的某种属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，这就是说，当我们把数形结合当做数学思想方法来应用时，数与形两者之中，一个为手段（方法），一个为目的。在中学数学中，它主要表现在运用图形的直观解决数量关系、利用数量关系揭示几何图形的性质和将数量关系和图形的性质在解题中串连结合使用这三

2、个方面。关键词数形结合数量关系中学数学应用数和形是走进数学殿堂的两条基本通道，它把对象的空间形式和化简得：3K2-8k+3=0，数量关系有机地结合在一起，使形象思维和抽象思维结合起来，实现解得：优势互补，数形互补的观点可以用来处理很多问题。数形结合包括两个方面：第一，通过理想化抽象的方法，转化为适当的图形，从图形所以直观地发现数量之间存在的内在关系，解决数量关系的数学问题。第二，把关于几何的问题，用数量和方程来表示，从它们的结构研究几因此函数的值域为：何图形的性质与特征。通常是将数量关系转化为线段图，曲线

3、图，这是基本的方法。对于某些问题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。运用数形结合能揭示数学问题的条件和结论之2解答与证明不等式间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系一个抽象的不等式可以用图形中线段的长短、面积（体积）的大和空间形式能巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题思小来直观显示，当我们解答与证明不等式时如果直接解题难度较大或路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和较繁，不妨用

4、图形来直观地理解式中的关系，从而得到解决。形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复例3.对<1，<1，求证：杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。分析：这道题从条件入手，难证得结论，若从结论入手，将不等在中学数学中，它的应用非常广泛，包括求最值、距离，证明与解答式两边平方证这个不等式，将很繁冗，若用数形结合来证，则简单明不等式，求方程中未知数的取值范围，求解关于复数、集合与平面向了。量中的某些题型。证明：

5、取单位圆上的两点A（a,）B(b,)或B(b,－1求最值)，连接ＯＡ得直线Ｌ的方程：例1(见参考文献1)已知，求的因为Ｂ到L的距离BH不大于Ｂ到原点的距离，最小值。分析：在约束条件下求最值，常规思路是消去一个变量，使之变所以成一元二次多项式，再运用配方法，在这种方法中式子的整理变形比较繁琐、运算量较大。但是，如果将看成是直线即　上动点A（x，y）与定点B(1，1)间的距离，那么，我们头脑中立即构造出一个几何模型，由于点A(x，y)的坐标满足，所以u的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。例4.(见参考文

6、献2)解不等式解：是由直线分析：令f(x)=，g(x)=x，则不等式的解就是使f(x)的图象上动点与定点在g(x)的上方的那段弧所对应的横坐标范围。间的距离，显然的最小值是点到直解：如图所示，不等式的解集为线的距离，即，而可由＝X解得，=2；可由=0解得，=-2，故不等式的解集为例2(见参考文献1)求函数f(x)=的值域。。分析：此式的分子分母都是有界的，因此可以考虑它的最值，函3求解方程未知数的取值范围数的值域就是它的最小值与最大值之间。单纯从代数角度考虑，当例5.(见参考文献2)若关于x的方程＋2kx

7、+3k=0的两根都在－1和x使f(x)的解析式的分子取最大（小）值时，分母并不是最小（大）3之间，求k的取值范围。值，所以用sinx和cosx的有界性，难以求出f(x)的最值，若用数形结合分析：令f(x)=＋2kx+3k，其图就很容易求解。f(x)是分式，其结构类似斜率公式，因此可视此式为象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0定点Q(2,2)与单位圆上的动点P(cosx,sinx)连线的斜率。的解。由y=f(x)的图象可知，要使二根解：视f(x)=为单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,2)

8、连都在－１，３之间，只需f(-1)=k+1>0，f(3)=9k+9>0，又－＝－k介于－1与线的斜率。设经过点Q(2,2)，斜率为k的直线L:y-2=k(x-2)与圆相3之间，即－1＜－k＜3且f(-k)=－＋切，切点为A与B。则函数的最值转化为斜率的最值，因为圆心O到直3k＜０同时成立，解得－1＜k＜0，故线L的距离为1，即：k(-1,0)。205内江科技2012年第11期教科园地例6.(见文1)在方程5kcos－4sin＋