数形结合在函数中的应用

《数形结合在函数中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数形结合在函数中的应用樊荣（乌兽木齐市第六十八中学新疆乌兽木齐830011）数形结合就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，使代数问题几何化或几何问题代数化，从而将抽象的思维和形象思维结合起来的一种思想方法。数形结合的方法及思想在数学学习的各个阶段都有所渗透，它是常用的、重要的思想方法，在中考的各类型题目中都有可能得到应用，下面主要介绍其在函数中的应用。一、函数的性质和图象1、一次函数的性质和图象一次函数图象是一条直线，当时，是一条过原点的直线；当时，是一条不过原点的直线。由于两点确定一条直线，故只要知道图象与轴、与轴的交点坐标即可。与轴的交点坐标，令，求

2、，即；与轴的交点坐标，令，求，即。一次函数中的的取值决定了函数图象在坐标系中的位置。2、二次函数的性质和图象二次函数图象是一条抛物线，是一个轴对称图形，开口方向由决定，对称轴是直线，与轴的交点华标，令，求；与轴的交点华标，令，求，顶点华标。知道这些量就可画出函数图象。二、数形结合在实际中的应用例1:如图，直角三角形ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，轴于点B,且的面积等于3。(1)求这两个函数解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和的面积分析：(1)的面积等于3的几何意义与的数字大小有联系，就是，从反比例函数的图形位置可以说明的符号，(2)由一次

3、函数与一元一次方程的关系，把图形转化为代数问题，由方程的根得到图象与轴的交点D的坐标，再表示线段0D的长度，冋到几何问题，双曲线与直线交点的几何问题，转化为求方程组的解这样的代数问题，由A、C的坐标得到的、高，再次转化，获得此题的解。解：(1)设A的坐标为，由的面积等于3得，由图象得知点A是双曲线与直线在第四象限的交点，所以所以双曲线的解析式为：一次函数的解析式为：(2)由直线与双曲线的交点坐标即方程组的解所以可得点A的坐标为(1,-6),点C的坐标为(一6,1)。求直线与轴的交点D的坐标，在中，令得，即D点的坐标为所以：这道题是数形结合的一般应用，借助图像的有关信息

4、帮助解决问题。例2、若二次函数的图像开U向上，与轴的交点的坐标为，则该函数当吋对应的与的大小关系是()A、B、C、D、不确定分析：(1)本题是可以用代数方法解答的，知道两个点的坐标，有两个待定的量，故可以用待定系数法求出函数解析式，从而将值带入可以求出与的值，从而做出判断。解：因为点在函数图象上，所以：解得所以函数解析式为：所以，故选C(2)由题意得，抛物线的对称轴为，与轴的交点坐标，与轴的交点坐标为，故可以画出函数图象，从而直观地看出答案，当吋对应的值要大，所以，故选C(1)由于抛物线是轴对称图形，可以根据这个知识点将分居在对称轴两边的点转化到对称轴的左边或右边去，

5、再根据函数的增减性来判定它们的大小，但这个要求比较高，综合性比较强，对程度一般的学生难度比较大。总结：由这题的三种解法可以发现，数形结合解题是比较方便的！例3、某校部分住校生放学后到学校锅炉房打开水，每人接水2升，他们先冋吋打开两个放水龙头，后来因故障关闭一个水龙头，假设前后两人接水间隔吋间忽略不计，II不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水吋间X(分)的函数图像如图所示。请结合图像，冋答下列问题(1＞根据图中信息，请你写出一个结论⑵问前15位同学接水结束共需要几分钟？(1)A冋学说:“今天我们寝室的8位同学去锅炉连续接完水，恰好用了3分钟.”你说可能吗?请说明理由

6、.分析：从图像中可知，⑴锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升，2分钟前的水流量为每分钟8升，2分钟后的水流量为每分钟4升。（2）①当0≤X≤2时，设函数解析式为：把（0,96）、（2,80）代入函数解析式解得，所以y=—8x+96（0≤≤2）；②当吋，设函数解析式为：把（2,80）、（4,72）代入函数解析式解得，所以因为前15位同学接完水时余量为96—15×2=66（升），所以66=—4x+88,解得所以前15位同学接完水需5.5分钟。（3）①若A同学他们是一歼始接水的，则

7、接水吋间为（分），即8位同学接完水，只需要2分钟；②若A同学他们是两分钟以后开始接水的，则8位同学接完水，需4分钟；③若A同学他们在两分钟内的某个同学接完水后开始接水的，八位冋学接完水有可能吋间恰好3分钟。设8位同学从第分钟开始接水当吋，则得所以A同学说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接水，接完恰好用了3分钟。这道题将解决问题所需要的全部信息都蕴藏在图像之中.解答这类题需要充分挖掘图像中各种信总之间的内在联系，要善于观察，从图像信息中获取对解题冇帮助的信息。要能将数形结合在函数中应用好，必须要突破的就是画出函数图象，也就是要对函数的图象和性质理