数形结合在二次函数中的应用 理论

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1、初中《二次函数》教学中如何运用和培养“数形结合”的思想摘要：二次函数是初中数学的重要内容，也是学习的难点。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，借助数形结合的思想方法，加深学生对函数概念的理解；让学生直观地理解二次函数性质；加强知识间的横向联系。运用数形结合的思想方法可以使复杂问题直观化。使学生的抽象思维能力得到发展。也为学生提供了一种简单解决问题的方法，培养学生自觉运用“数形结合”的数学思想和意识。关键词：二次函数教学运用培养数形结合思想函数是初中数学的重要内容之一，初中数学主要学习三种简单函数：一次函数、反比例函数、二次函数。二次函数是学习了一

2、次函数和反比例函数之后所认识的另一种函数，相对前两种函数来说，二次函数反应出来的关系和性质更复杂抽象一些，是学生学习的一个难点。学生主要存在的困难是对函数概念难以理解，对各类函数中两个变量的变化关系感觉比较抽象，对函数关系的表示方法不能灵活转化。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；下面就二次函数谈谈函数教学中如何渗透和应用数形结合思想。一、数形结合思想的概论。数形结合是初中数学的重要思想之一，包含“以形助数，以数辅形”两个方面。著名数学家华罗庚教授曾精辟的概述：“数以形而直观,形以数

3、而入微”，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。借助数的规范严密和精确来阐明形的属性。通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。二、借助数形结合加深学生对函数概念的理解。初中数学课程标准中对函数概念的要求是“了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系。”课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资随邮件重量的变化而变化，园的面积随半径的变化而变化，路程、速度和时间的关系等，得出“一个量随另一个量的变化而变化”

4、的结论，使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。初中数学对函数的定义是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。学生对于这一概念的理解比较抽象而机械的，比如学生认识一次函数和反比例函数的概念后，学生从函数表达式（关系式）可以判断两个变量间属于哪一种函数关系，但并不能透过表达式看到其中隐含的两数量间的变化关系的区别，面对新的问题是不会建立相应的函数模型解决问题，缺乏函数思想和观点，也就是对函数概念理解不全面。对函数概念理解模糊和机械的背

5、诵函数的定义，学生不可能从本质上体会和理解数学的另一种重要思想---函数的思想。而借助数形结合加深学生对函数概念的理解。三、“数形结合”让学生直观地理解二次函数性质。二次函数中的自变量和因变量的变化比较抽象，学生难以把握，由于“数”和“形”是一种对应，而“图像”具有形象，直观的优点，能表达出具体的思维过程，有利于问题解决，因此教师可以把“数”的对应———“形”找出来，利用图像来帮助学生理解二次函数的性质。教师在二次函数性质的教学中，充分让学生自己作图，通过列表格观察数据的特点，再画图像，把函数表达式的特征在图像中显示出来，逐步深入地探索二次函数的相关结论。让学生从最简单的形式y=ax2入

6、手，逐步过渡到y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图像，从简单到复杂，作出图像观察常数a，h，k与图像的对应关系，即完成由“数”化“形”的过程。观察二次函数图像性质时，狠抓y=ax2的基本图像，让学生通过图像体验图像平移过程，从图像的平移变换角度认识y＝a（x－h）2+k型二次函数的图像特征，深刻体会常数a，h，k在图像中的作用，从而掌握二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、y的最大（小）值等性质。认识研究y＝a（x－h）2+k型二次函数的图像特征后，代数式的变换，得出y=ax2+bx+c型二次函数的性质。即完成由“形”化“数”的过程。通过观察常数的变化与图形变化

7、之间的关系，学生从多方面观察函数图像的变化，发现“数”与“形”之间的对应规律。由此，学生可以根据任意一个二次函数（如：y=-2x2-9x+3）的表达式，在头脑中呈现出该函数的大致图像。同时学生根据函数图像特征，可以确定表达式中常数的取值情况。在这一过程，学生可体会“数”与“形”之间的转化，培养学生数形结合的意识。图形虽然具有直观化、具体化的特点，但要确定具体的图形性质，如：顶点坐标，与x轴的交点坐标等，在准确定量方面还必须借助代数的