数形结合在初中函数的应用

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1、数形结合在初中函数的应用　　初中数学中的函数部分主要包括一次函数、反比例函数和二次函数，教学中一般通过变量之间的关系引入函数概念，要求学生使用恰当的形式表示各种函数。在教学过程中重视运用数形结合的方法，借助图形的形象、直观，研究函数问题，不仅为学生提供了一种简单的解题方法，而且也有助于学生加深对函数问题的认识。　　一、数形结合概论　　数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的，比如应用图像来形象的说明函数的性质；借助数的精确和规范严密来阐明形的属性，即以数为手段，

2、形为目的，比如应用曲线的方程来精确阐明曲线的几何性质。　　二、发挥学生的形象思维　　人们认识客观世界时，面对抽象事物，总是寻找具体形象的认识途径，以达到洞悉抽象事物的目的，形象和抽象是矛盾的两个方面。教学中，注意引导学生把抽象问题同题目联系起来，给予具体、直观、形象的数学模型，并通过分析研究，巧妙地将问题解决。这种数形结合的思想，对发展学生的形象思维是极其有利的。　　三、形到数的思想应用4　　很多函数问题以图形式出现，图形中包含了大量的代数知识，仔细观察图形，把握其特点，在图形中获取信息，建立适当的代数模型是解决问题的关键。　　例1.小光骑车外出，下图表示他离家的距离y（

3、千米）与所用时间x（小时）之间的关系图象。　　（1）根据图象回答：小光到达离家最远的地方需要多长时间？此时离家多远？　　（2）小光出发2.5个小时时离家多远？　　（3）小光出发多长时间距家12千米？　　解：（1）由图象可知离家最远30千米，需要3小时。　　（2）线段CD的函数关系式为y=15x-15（2≤x≤3），当x=2.5时，y=15×2.5-15=22.5（千米）.所以小光出发2.5小时时，离家22.5千米。　　四、数到形的思想应用　　用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法，利用图形的直观性，代数的问题图形化，学生在动手建立图形的过程中经历“观察、实验、发现、猜

4、想、归纳、验证”，使学生的能力和水平得到提高，数形结合的思想也能得到渗透。　　例2.利用图象求方程式x2-x-1=0的解。　　解法二：用配方法解；　　解法三：方程可变形为x2=x+1，因此抛物线y=x2与直线y=x+1图像的交点的横坐标就是方程的解。　　上述三种方法中，解法一涉及到系数、二次根式，这里正是学生的易错点；解法二中学生易把等号右边的数弄错；解法三可以避免这些的错误。4　　本题教学借助图形，通过“以形助数”方法，将形象思维与抽象思维相结合；借助于“形”的几何直观性来阐明“数”的大小关系，思维有冲击，更好帮助学生理解题意，用学生看图便知道了答案。　　用一种直观而有

5、效的策略、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新，激发了兴趣，这比老师苦口婆心帮助学生分析数量关系更有数学学习价值。体验“数形结合”在解决问题中的使用价值，让学生清晰而明确认识“数形结合”的妙处，感知数学思想之睿智。　　五、数形结合的综合应用　　以形助数和以数辅形是数形结合的两个方面，有时又要综合应用，既由图形找出数量关系，又通过代数方法加以解决。中考数学压轴题的关系多，涉及知识点广，往往要将数形结合思想综合应用，找到数与形的契合点成为关键。　　例3.（2009年重庆）已知：如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴

6、上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。　　（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式。　　分析：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。第1问结合“形”的特征，求出点D、E、C的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”4思想。对于第2问，由D、M所在直线与y轴相交于F，可求得F点坐标，并求出EF的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出OG，得证结论。解决第2问的关键是将EF、OG转化为可求的已知量，得到其长度关系，体现了数学

7、解题中的“数形结合”思想和“转化思想”。　　数学家华罗庚说：“数形结合千般好，数形分离万事休。”数形结合是学好数学的一把钥匙，其丰富的内涵对培养与发展学生的思维能力和解题能力都极为有用，因而这种数学方法应在教学过程中得到更多的重视。　　参考文献：　　[1]莫红梅.谈数形结合在中学数学中的应用[J].教育实践与研究，2003（12）.　　[2]卢丙仁.数形结合的思想方法在函数教学中的应用[J].开封教育学院学报，2003（4）.　　[3]陈福建.函数教学中的建构主义构想与数形结合思想[J].镇江高专学报，2005（3）.　　[4