数形结合在初中数学中的应用

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1、数形结合在初中数学中的应用株洲市天元区泰山学校刘琼[论文摘要]:本文通过举例的方式，分析了数形结合在求绝对值、解应用题、求解函数以及化简计算中的应用，体现了数形结合在初中数学解题过程中重要性。通过运用数形结合，将抽象的数量关系转化为适当的几何图形,从图形的直观特征发现数量之间存在的联系,以达到化难为易,化繁为简,化隐为显的目的,使问题简捷地得以解决。[关键词]:数形结合数学思想图形数形结合是根据数量与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征,寻找解决问题的一种数学思想。利用数形结合法解题可将代数与几何相互迁移,它是一

2、种极富数学特点的信息转换,著名数学家华罗庚精辟讲述了:“数缺形则少直观,形缺数则难入微”。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程问题中，在求函数问题中。运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理。下面就数形结合思想在绝对值、应用题、函数、方程中的应用做一个系统的分析。一、绝对值中的数形结合的问题绝对值在初中代数中占十分重要的地位,而初中生对解含有绝对值题又觉得困难重重,但是利用绝对值的几何意义，9借助于数轴化去题中的绝对值符号,困难就会迎刃而解了。例1：求y=

3、x+1

4、+

5、x-

6、2

7、+

8、x-5

9、的最小值.BCA-3-2-1123450图1分析:由图1可知，要使PA、PB、PC距离之和为最小，显然点P应在AC之间，则

10、PA

11、+

12、PC

13、=

14、AC

15、，因此只需

16、PB

17、最小即可，当P点和B点重合为最小值。所以当x=2时，y=

18、3

19、+

20、0

21、+

22、2-5

23、=6例2：解方程

24、x+3

25、+

26、x-3

27、=10BA-5-4-3-2-10123456图2分析:此题可转化成图2在数轴上求动点P到点A和点B距离之和等于10,因为

28、AB

29、=6，所以显然点P不在AB内,若点P在点B的右侧，则：

30、AP

31、=

32、BP

33、+6（1）

34、AP

35、

36、+

37、BP

38、=10（2）由（1）、（2）得：

39、BP

40、=2所以x=3+2=5同理，若P点在A的左侧，可得x=-3-5=-5。所以原方程的解为x1=5；x2=-5。9例3：已知a<00，

41、b

42、>

43、c

44、>

45、a

46、化简，

47、a+c

48、+

49、b+c

50、-

51、a-b

52、　ba0c图3分析：解这个题目的关键是确定a+c，b+c，a-b的符号，根据已知图3借助数轴，在数轴上标出a,b,c的大致位置，就很容易确定a+c>0，b+c<0，a-b>0。所以

53、a+c

54、+

55、b+c

56、+

57、a-b

58、=a+c-b-c-a+b=0评注：利用绝对值的几何

59、意义，解这一类题可化难为易，能培养学生良好的思维品质，促进思维的发展，有助于策略的迁移。二、应用题中的数形结合问题。对题目进行分析找等量关系，是列方程解应用题的关键。有些题目的等量关系很难找到，若用图形显示数量，其等量关系便一目了然。例4：某班有学生45人，选举2人参加学生会，选举结果有40人赞成甲，有37人赞成乙，对甲乙都不赞成的人数是都赞成的人数的40-xx37-x图4，都赞成和都不赞成的人数各是多少人？分析：设都赞成的有x人，则都不赞成的有人，如图4易知只赞成甲而不赞成乙的人数为（40-x）人，只赞成乙而不赞

60、成甲的为（37-x）人，由图形可知40-x+37-x+x+=45,即x=369例5：某商店因价格竞争，将某型号彩电按标价的8折出售，此时每台彩电的利润率是5%，此型号彩电的进价为每台4000元，那么彩电的标价是多少？现售价0.8x标价：x进价：4000利润：4000×5％图5分析：如果设彩电标价为x元，那么彩电现售价利润就分别表示在图5的线段图上，从而按照题意找出相等关系列出方程。设彩电标价为每台x元，根据题意，得0.8x-4000=4000×5%∴x=5250评注：有些应用题，若用图形显示数量，其等量关系便一目了

61、然。三、函数中的数形结合问题。函数是“数形结合”的思想方法，体现得最充分的一章节，平面直角坐标系把“点”和“数”对应起来，使抽象的“数”与“直观的形”有了统一，开创了研究数学问题的新途径，而二次函数中抛物线和开口，对称轴，顶点及坐标轴交点更与系数a,b,c关系密切。3xy0图6例6：已知方程x2-（3a+2）x+2a-1=0的一根大于3，另一根小于3，求a的取值范围。分析：这个问题等价于抛物线y=x2-(3a+2)x+2a-1与x轴的交点在（3，0）两侧，画出草图图69，可知，当x=3时y<0,即32-（3a+2）

62、x+2a-1<0可得a>例7：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图7所示，则一次函数y=ax+bc的图象不经过（）Oyx图7A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限分析：要判断一次函数图象经过的象限，关键确定a,b,c的符号，而确定a,b,c的符号由二次函数的图象所在位置即可得到，因为抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，所以a>0且a,b同号，b>0,