《数形结合在初中数学教学中的应用案例研究》

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1、数形结合在初中数学教学中的应用案例研究初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形。三千多年前，我国古代数学家赵爽最先在《周髀算经》作注时给出“弦图”，他通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，赵爽的“弦图”证明可谓别具匠心，体现了“数形结合”的思想。现代初中数学教材中，如平方差公式、完全平方等公式的推导都采用了几何图形验证方式，这是代数问题几何化的代表性问题。“数形结合”，直观

2、性强、形象具体,在平常的学习中更容易被同学们所认可。近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合，“数形结合”作用突显。在数形结合问题中，主要有三个方面：一是“以形助数”，二是“以数助形”，三是“数形互化”。本文仅针对如下几个问题进行讨论课堂教学的“数形结合”。一、以形助数，简化易解解决数学上数量关系的问题主要体现在把抽象的理论知识转化为适当的几何图形，巧妙地用图形来表达抽象的数学知识，构建出清晰的数学知识体系，促进知识的“消化”。有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂

3、的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。初中数学中，如有理数中数轴的引入、不等式及不等式组的解集在数轴上表示，使抽象的概念、性质得到直观的理解；解二元一次方程组、解不等式时，利用平面直角坐标系，通过转化成一次函数图像图解，问题变得简化易懂；统计部分三类统计图应用后即可使啰嗦文字语言变成简洁明了；用“树形图”分析事件的概率，可使事件简单而明确。以上均属于“以形助数”代表性内容，是课堂教学中必需性基础内容。学生在画图中整理信息分析信息，用时不多找到解决问题的方法，学生在老师的引领下，领悟到了一

4、种有效解决问题的方法------图解法。1、有理数教学中， 初识图解法 数轴的引入是有理数体现“数形结合”思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的[4]。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透“数形结合”的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。案例1：在《

5、有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。（1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。（2）相反数在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：（3）绝对值在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到

6、原点的距离比B点到原点的距离大。（4）倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。2、求解不等式（组），运用图解法教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解，这里蕴藏着数形结合的思想方法[4]。在数轴上表示数是“数形结合”思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更直观、更为有效。案例2：解不等式

7、组并把解集在数轴上表示出来．    解：解不等式①，得解不等式②，得．不等式组的解集在数轴上表示如下：所以，不等式组的解集是3、方程组、不等式，巧用“图解法”“图解法”解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图像，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，利用两条图像线的交点位置，可快捷求出相关不等式的解集。这充分体现了“数形结合”的思想，构建了数与形的和谐美。在解题方面，通过把问题转化成图形的方法，直观得出问题结论，避开了相对复杂的计算。案例3：二元一次方程

8、组的解有三种情况：①无解；②无数个解；③只有一个解。一种解法：把交点的横纵坐标代入两直线的解析式求出与a,b的值，再代入不等式求解，这种方法显然很复杂，但也是大部分学生的解法。另一种解法：由两个一次函数的图象的交点直接得出不等式的解。这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系：①平行；②重合；③相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点