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1、浅谈“数形结合”在函数中的运用泰兴市扬子江高级中学袁小武“数形结合”思想是中学教学的主线之一，它涉及集合、函数、数列、不等式、线性规划、向量、复数、解析儿何、立体儿何等多方面的知识•数形结合思想的运用主要体现在两个方面：一是以形助数，帮助分析某些抽象的问题，起到事半功倍的效果；二是借助于准确的数来研究图形的某些性质(主要在解析几何、立体几何中运用).纵观近几年的高考看，数形结合重点是研究以形助数，本文主要探讨用形解决函数的相关问题.一、数形结合思想解决分段函数问题例1用min{a,Z?,c}表示a,b,c三个数中的最小值设/(x)=min(2r,x+2,10-x},则/
2、W的最大值为6・解析：由图象可知：几兀)在A处取得最大值,解方程组("：+2得皿4,6)[y=10-x・・・函数兀力的最大值为6.变式1用max{a,b}表示°,方三个数中的最大值设f(x)=max{
3、x+l
4、,
5、x-2
6、},则/(%)的最小值为1・5・变式2己知函数/(x)=—(sinx4-cosx)-—
7、sinx-cosx,则函数.f(x)的值域是.2•二、数形结合思想解决函数的零点(方程的根)的个数问题这类问题的求解必须熟练掌握各类基本函数的图象以及函数图象的变换，如:平移变换、对称变换、翻折变换等.例2[1知函数/(%)=]2
8、
9、，xh2.关于*的方程严⑴+防
10、'(x)+c=o有7个29x=2实数根，则he的值分别为-2；0.解析：利用函数的图象变换作出函数〉心/(兀)的图象由图象可知：方程fM=k的根的情况如下当£<0时，方程无实根；当£=0时，方程有2个不同的实根；当0vk<2吋，方程有4个不同的实根；当"2时，方程有5个不同的实根；当R>2W,方程有4个不同的实根.•I关于兀的方程/2(x)+Z?/(x)+c=0有7个实数根，必须满足/(x)=0^n/(x)=2.此时，，b——2,c=0.变式设Q为常数，试讨论方程lg(x-l)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数.x—1>0解析：原方程等价丁「3-x>0即°=-
11、兀2+5兀-3(1v兀<3)(x_1)(3—x)—ct—x413当咸IsS3吋，方程有1个实根；413当3Jr2-x2表示半圆；y=心-1)+2表示过定点(1,2)的•苴线；+表示与直线yr平行的直线；口表示(x,y)与(1,1)两点连线的斜率.x-1例3若不等式a/9-x2＜Z:(x+2)-V2的解集为区间[d,b],且b-a=2,则k=^2_・解析：由题意可得：直线y=k(x+2)-近在半圆y=丁9-/之上所对应的xga,bW
12、.b-a=2.由图象可知：a=l,b=3,此时直线过点(1,2^2),故k=4i・变式：已知集合A=y^y=^9-x2b={&,二兀+加},且A"B二①，贝U实数m的取值范围是加＞3©或加＜—3・反思:数形结合作为一种重要的数学思想方法历年來一宜是高考考察的重点之一.但从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析儿何中图象的儿何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题屮，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，
13、不仅育观易发现解题途径，而冃能避免复朵的计算与推理，人人简化了解题过程•这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图,见数想图，以开拓自C的思维视野.
