数形结合在中学数学解题中的应用

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1、数形结合在中学数学解题中的应用（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002）1.引言数形结合思想方法是数学知识的本质之一、基础之一，也是重点之一，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结

2、合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法简便。在国内，我国数学方法论的倡导者、数学家徐利治陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论宣讲》等论著，并提出了很多创新性的观点，在数学界中引起了强烈的共鸣；在国外，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》，系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、重要数学思想与若干有效的数学方法。纵观国内外数学思想方法方面研究的现状，可以看出，虽然很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过很深层次的探讨，且有了较为明显的成效，但在新课程改革不断发展的今天，这方面的研究

3、工作还有待于完善，更重要的是要真正的实践到教学中去。作为一名高中数学教师，在近两个多月亲身高中数学教学实践中，我发现高中学生大多数把数形结合等同于“借助图象来解题”，对数形结合的背景知识知道的非常少。而且有些老师只重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，一些数学思想往往会被忽视。由此引发了我的思考，同时我也在学术期刊网上下载了几十篇进行研读。根据近期我所研读的材料可以概括出数形结合主要包含“以形助数”、“以数辅形”和“数形互动”三个方面。数形结合的思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否有意识地运用

4、数形结合思想方法解答数学问题，是衡量学生数学素养和数学能力的重要指标，而让学生真正掌握、熟练的运用才是最终的目的。通过研读材料以及在高中数学教学中的了解和亲身实践，于是-22-从便于学生解题方面以及培养学生数形结合思想方面确定了论文方向。本论文是在概括搜集材料的基础上，自己进行归纳小结，主要介绍数形结合在集合、不等式、求方程的根、函数、解析几何、向量问题中的应用。2.数型结合方法概述中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的

5、条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系趋探求。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合源于数学，是数学思想方法中的一种。它是中学数学中的一个重要的思想方法，它不仅在数学解题

6、中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受。对于数形结合思想方法的专题研究很多，各类数学杂志上都能见到，但对数形结合思想方法没有完整的、深刻的认识。伴随着社会的发展，数形结合的应用范围越来越广。人们不但使其在数学学科中原有的应用发挥地淋漓尽致，而且还不断挖掘它新的应用；不但开始尝试它在其他学科中的应用，并试图总结出一些应用规律，而且也在摸索它在生活实际中的应用。这说明，数形结合的应用不再仅限于数学学科中，也不限于在其他学科中，

7、它有更广的使用范围。那数形结合为什么应用如此之广呢？这值得我们思考。可以肯定地说，它本身具有一定的教育意义和教育价值。因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。-22-我们希望，运用数形结合的教育意义和教育价值也能带来数学解题能力的提高。因此，我们把中学数学中运用数形结合提高解题能力作为研究的课题是从数形结合的教育意义及教育价值视角出发的。3.数形结合的应用在中学阶段，有许多的代数题，学生总是拘泥于代数求法，

8、结果导致布什很繁杂，就、被认为超出其范围不能求解。其实，代数与几何是有着密切联系的。在代数中若能充分联想题设与结论中的“几何背景”恰当构造图形，实施命题变更，不但能够激发学生的学习兴趣，而且往往探索出新思路，找到解题的关键，优化解题方法。它不仅对于沟通代数、三角与几何内在联系具有指导意义，而且更重要的是对于开阔学生的思路，发展学生的创造性思维，提高学生的思维品质有着重要作用。因此本论文