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1、数形结合在中学数学解题中的应用重庆兼善中学：数学组——周宇摘要:数学中的两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素，“数”“形”结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习研究和掌握应用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文通过举例与分析论述数形结合在中学数学中的应用。关键词:数；形；数形结合Thecombinationofnumberandform.inmid
2、dleschoolCollegeofmathematicalandcomputerGuoZhilMingTeactherLuopingAbstractThecontradictionandunificationof“form”and“number”,twoofthebasicresearchobjectsinmathematics,areintrinsicforthedevelopmentofmathematics.combinationofnumberandformmotivatestheevolutionofmathematics.
3、Thecombinationshouldbestudiedandappliednotonlyasoneofthemethodstosolveproblemsbutalsoabasicandimportantidea.Enhancingthecombinationabilitypromotestheunderstandingofthenaturesofmathematicalproblemsandhelpstobuildasolidmathematicalfoundation.Basedonlearnlingangteachingprac
4、tices,measuresareproposedtoraisethecombinationability.Keywordsnumber;form;combinationofnumberandform.距离公式求得的，这就是以“形”助“数”的功用。虽然本题也可以用代数的方法求解，但运算量显然大于本解法本题的代数解法：由3x+4y-1=0得y=,把它代入:(x-1)+(y-2)=x得:(x-1)+(y-2)=x―2x+1+x+x+=(x+)+4所以x=﹣时(x—1)+(y-2)的最小值为4。例2设x∈R,求函数f(x)=﹣的值域。:YBA
5、2PX解f(x)=﹣=﹣=―A(),B(),P(x,0),
6、f(x)
7、=
8、
9、PA
10、-
11、PB
12、
13、<
14、AB
15、=1,所以f(x)∈(-1,1).点评本例显著的特征是把式子理解为距离之差，从而巧妙的解决了问题。OYXCD解法2f(x)=﹣==所以将f(x)看作两点的斜率，可得如下做法：设C(x+),D(x－)则f(x)=kBACDX1160o60o且CD两点都在等轴双曲线y的上半支上，直线必与双曲线的两条渐近线y=x,y=―x相交于上方。所以CD倾斜角的取值范围为{0,}（）所以f(x)=K∈(-1,1)解法3==所以与正弦定理联系可在三角形中
16、解决问题有如下做法：由于f(x)为奇函数且f(x)=0只需研究x>0时即可获得f(x)的值域，如图四边形ABCD中AB=x,∠BAD=60△ADC是边长为1的等边三角形。由余弦定理，得：BC=,BD=在△BCD中，由
17、BC-CD
18、19、-
20、<1所以f(x)∈(-1,1)OAPXY-1-1
21、例3函数y=的值域为（）是一分式，能不能把它看作两点连线的斜率呢?能,它实际上点P()与点A(-2,0)连线的斜率,由于x+2x=(x+1)-1≥-1所以点P()在射线y=x(x≥-1)上移动.因此问题变为:射线y=x(x≥-1)上的点与A(-
22、2,0)点连线的斜率的取值范围是什摸?如图,显然当P移动到点B(-1,-1)(射线的端点)时AP的斜率最小,最小值为-1;P点越向斜上方移动AP的斜率越大,其值越来越接近于数值1(但不能取1)所以AP斜率的取值范围是[-1,1]即函数的值域为[-1,1]本例巧妙的利用了数形结合求了分式函数(分子分母都是二次的)的值域,把分式看作是两点连线的斜率,往往收到意想不到的效果,另外把看作是点M(x+2x+2,x+2x)与原点连线的斜率也可以解决问题.2函数图象的应用函数的图象也是实现代数与图形联系的一个通道,很多函数方程不等式的问题应用数形结合
23、,可对数学知识和问题加深认识,理解透彻,思路的获得也就容易了.例4方程㏒=sinx的实数根的个的个数是()O1YXA1个B2个C3个D4个用代数的方法求解该方程是很困难的，因此考虑用数形结合法方程㏒=sin
