数形结合在解题中的应用

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1、数形结合在解题中的应用：我国教育部2001年7月颁布的全日制义务教育《数学课程标准》中将数学思想的培养列入数学学习的主题之一，"数形结合"是初中数学重要的解题思想，它既准确又直观，既统一又对立，他们通过相互的转化来达到解题的目的。从而把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。　　关键词：数形结合　　：G42：A：1009-0118（2011）-06-0-01　　　　恩格斯指出：“纯数学的对象是现在世界的空间形式和数量关系。“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统

2、一的辩证关系。我们要认识两者的辩证关系，要认识到矛盾双方的相互转化。在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体的形象联系和转化，这就是“数形结合”。在初中数学中，“数形结合”是一条重要的数学原则，在解决不等式、函数、加深记忆中有着广泛的意义。华罗庚先生说过：“数无形，少直观，形无数，难入微”。在数形结合转化的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。在教学渗透数形结合时，教师应该指导学生掌握以下几点：　　1、善于观察图形，加深理解和记忆。　　2、正确绘制图形，提高解题效率和直

3、观性。　　3、切实把握好“数”与“形”的对应关系，使复杂问题简单化。　　下面就从几个方面谈谈数形结合在解题中的应用：　　一、“数形结合”在解决不等式中的应用　　“穿针引线法”之“根轴法”：一元n次多项式在实数范围内能分解为n个一次因式的积，但其中有相同的因式，既因式分解中出现（。若m是奇数，则穿过数轴；若m为偶数，则不穿过数轴，且图像又左向右传递。　　例1：若不等式＜0，则x的取值范围应为多少？　　解：不等式变形为＜0　　＜0　　当x=-3；-2；2时　　在数轴上表示，如图　　由图像可知：x的取值范围应为-2＜x＜2　　因此，利用“

4、数形结合”解题，可以使问题化繁为简，使学生提高解题的效率和解题的能力。　　二、“数形结合”在解决函数中的应用　　例2：设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f(x)=lg(3a-ax-x2)总有意义，求实数a的取值范围。　　解：由已知有x∈[-2，2]，　　∴3-x∈[1,5]　　不等式可化简为　　，　　∴只要的最大值即可。　　设t=3-x,t∈[1，5]，6h(x)=t的图像如图，可知6h(x)的最大值为10，故h(x)的最大值为4。　　∴a＞4　　由数想形，直观显行。此法是将实数a从不等式中分离出来，对右边函数中的3-x换元后，利

5、用典型函数图象直观地求得其最大值，从而求得a的范围，充分体现了数形结合的思想。　　三、“数形结合”的魅力　　勾股定理设设四个相同的直角三角形直角边长为a，b斜边长为c，则。　　李爽的证明如下图　　由四个直角三角形的面积和小正方形的面积=大正方形的面积，　　所以得，证毕。　　勾股定理深刻体现了数形结合的魅力，也是初中几何学中的一个重要内容,在教学过程中,可以借个重要定理的巧妙证明向学生强调数形结合的思想,使他们体会到数的美妙,形的生动，从而加深记忆。　　综上所述，“数形结合”是数与形间关系的建立，从而促使“数转为形”，“形转为数”，既

6、借助数的精确性来阐明形的某种属性，或者对于所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形使问题得以顺利解决的思想。应用数形结合，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示起几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合。深刻理解这一点，有助于我们发现问题，分析问题和解决问题的能力。