数形结合在解题中的应用

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1、数形结合思想在解题中的应用摘要数形结合思想简而言之就是把数学中的“数”与数学中的“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想.数形结合具体地说就是将抽象语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法,是数学学习普遍适用的方法,把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.应用“数形结合”的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率.本文在概述数形结

2、合思想的基础上,分析了数形结合思想在中学数学解题中的应用,主要体现在数轴问题、不等式问题、最值问题、方程根的存在性问题、求极值问题和线性规划问题等,并针对解决不同类型的题目给出详细的例题分析,然后给出了在培养学生在利用数形结合时需要注意的几个问题,最后,通过调查研究数形结合的教学现状得出结论和教学启示,以提高学生运用数形结合思想解题的能力.关键词：以形助数;以数解形;数形结合第1章绪论1.1数形结合思想概述数形结合是中学数学解题中常用的思想方法,中学数学的基本知识可分为三类:一类是关于数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数、数

3、学结构、数学性质、数学定理等;一类是关于形的知识,如实物、图像、图形等;一类是关于数形结合的知识,主要体现的是解析几何.使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解.所谓数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面,其应用大致可以分两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;二是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些性质,即以数作为手段,形作为目的,比如应用曲线的方程来精确地

4、阐明曲线的几何性质.1.2数形结合的意义(1)应用数形结合思想,可以激发学生的学习兴趣爱因斯坦说过:"兴趣是最好的老师."许多学生对学习数学有感到单调、负担和惧怕的心理,应用数形结合,引导学生领略数学的美,将美感渗透融合于数学教学的过程,这种审美心理活动能启迪和推动学生数学思维活动,触发智慧的美感,使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣以克服数学学习的内在动力.(2)应用数形结合思想,可以提高学生解决问题的能力应用数形结合的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学

5、习及教学,可大大提高其效率提高数学应用的意识和应用能力,遇到相关问题很自然想到应用数形结合思想方法解答,省时更省力,从而很好的提高和巩固已学知识,为学生将来学好数学,轻松的解决问题奠定良好的基础.(3)应用数形结合思想,可以帮助学生从多个角度思考问题有些代数题型不仅能用代数方法解决,还可以用几何方法去解决;同样,有些几何问题也可以用代数方法去解决,但是,大部分学生在面对代数问题时首选代数方法,对几何问题首选方法.在教学过程中,培养学生数形结合的能力,可以帮助学生从多个角度、多层次的思考问题、解决问题,可以养成多向性思维的好习惯.例如:解不等式时

6、,大部分学生都用代数方法解决问题,若利用数形结合思想,将此问题转化为两个函数图像上、下位置的关系来解决更简洁.如图1所示:图1(4)应用数形结合思想,可以形象地帮助学生理解和记忆例如:在研究某种函数的性质时,可以利用函数图形来记忆其有关的性质,如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等.如图2、3是指数函数的函数图像,由图可知:当时,函数的定义域为:,值域为:,在定义域内单调递增.当时,函数的定义域为:,值域为:,在定义域内单调递减.图2图3第2章数形结合的具体应用应用“数形结合”的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变

7、得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率.2.1数形结合从数轴开始运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,利用数轴能形象的表示有理数、直观的解释相反数、比较有理数的大小、解决与绝对值相关的问题等.例1求不等式的解集.解析:由绝对值的几何意义知:的最小值为5时,在之间包括两端点取值,若成立,则必在的左边或的右边取值,如图4所示:图4不等式的解集为或.2.2数形结合思想在范围、最值问题中的应用2.3数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用(1)用函

8、数图像讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是将方程两边的代数式当作是两个函数,然后在同一直角坐标系中观察两函数图像,图像交点即为方程的解