数形结合在中学数学解题中的应用

《数形结合在中学数学解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数形结合在中学数学解题中的应用学生姓名:郝云霞指导老师:屈俊摘要:数形结合是一种重要的数学思想方法,其应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系,其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,关键问题是代数问题与图形之间的互相转化.本文从五个方面研究了在遇到这些题型的时侯应该考虑用数形结合,使学生有用数形结合的意识.关键字:数形结合中学解题应用引言:在中学数学的学习中,解题是学习课程的一个重要的“实践性”环节,但学生解题时,往往比较局限,面对代数问题只会应用代数的知识去解决,没有将它转化为图

2、形语言的意识,或者不能发现隐藏在代数问题中的某种几何特征.在面对几何问题时不能够借助所给的图形,找到图形中所蕴含的数量关系,反映几何图形的内在属性.如果学生在解题时能够应用数形结合换个角度看问题,就会在山重水复疑无路时,发现柳暗花明又一村.下面我将以具体的例子来讨论什么样的数学问题常用数形结合的思想来解决.正文:一.由对应建立起来的关系【1】1.实数与数轴上的点的对应关系数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例,它的建立不仅使最简单的形与实数间建立了一一对应关系,而且揭示了数形间的内在联系,使实数的很多性质可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说

3、明,将负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较等知识将数和形有机地融合在一起,学生可以结合图形进行直观分析,以数和形为纽带,解决问题[2].例1.已知a>0,ab<0,a>b比较a,b,0,-a,-b的大小,用<号连接.解:由a>0,ab<0可得a>0,b<0又因为a>b所以由绝对值和相反数的几何意义可知a,b,0,-a,-b在数轴上的位置如下图所示:由图可知-a<b<0<-b<a分析:此题是初一学生在学习了有理数一章后所遇到的题,由于初一的学生对数轴还不是很熟悉,学生大部

4、分用的是赋值法,给a,b赋予特殊值,这样可以得到答案,但是通过这样的方法做选择题可以,做大题的严谨性就不强了,还有的同学赋值赋的自己也搞不清楚数代表的是哪个字母了,因为刚上初一的学生,对字母代表数这块的认识还不是很清楚,由于根深蒂固的思想认为-b一定代表负数,导致出错.利用这种方法就可以避免以上这种错误了.2.平面上的点和有序实数对的对应关系平面直角坐标系可以看作是升级版的数轴,在直角坐标系中平面上的点和有序实数对是一一对应的.使数与形完美的结合在一起,达到了和谐的统一.在学习函数和方程等内容时,都是经过坐标系来实现的数与形的结合,从而对形的认识更

5、为清晰深刻,对数的理解更为形象具体[3].例2.已知Q={(x,y)

6、(x+2)+(y-3)221?22?<4P=?(x,y)

7、(x+1)+(y-m)≤?且4??}P?Q=Q求m的取值范围.解:P表示以O1(-2,3)为圆心2为半径圆的内部的点的集合1Q表示以O2(-1,m)为圆心为半径圆面的点的集合2P?Q=Q转化为几何语言为圆O2内含于圆O1?OO12<R-r<2-1解得3<m<3+2??<m<3+所以m的取值范围为?m

8、3-22????3.函数与图像的对应关系函数通过直角坐标系实现了数（函数）和形（函

9、数的图像）的结合函数的图像是函数关系的一种表示,它从形的方面来刻画函数的变化规律.函数的图像形象的显示了函数的性质,为研究函数提供了形的直观性,它是探求解题的途径,函数的解析式和函数的图像是函数关系【】式的主要表现形式,是指是相同的.解题时经常要相互转化4.例3.设f(x)=x-2ax+2当x∈??+1,+∞)时f(x)>a恒成立,求a的取值范围.2解:f(x)>a在??+1,+∞)上恒成立?x-2ax+2-a>0在??+1,+∞)恒成立.2设g(x)=x-2ax+2-a则?当x∈??+1,+∞)时,g(x)的图像位于x轴上方.2

10、如下图有两种情况:第一种情况需要满足:?=(-2a)-4(2-a)<0解的a∈(-2,1)2??≥0?第二种情况需要满足:?g(-1)>0解的a∈(-3,-2]?a<-1?综上a的取值范围为a∈(-3,1)分析:我们知道二次函数求最值有很多种方法,但是我认为图像法师最好的方法,因为借助图形不管是否限定了定义域都可以一目了然,特别对限定了定义域的二次函数,用图像简洁明了.做此题的最关键的是能将f(x)>a恒成立问题转化成g(x)>0恒成立的问题.4曲线和方程的对应关系曲线和方程是解析几何中两个重要的概念,它们有如下的关系

11、:(1)曲线上的点都是方程的解(2)方程的解都在这条曲线上.因此在处理复杂方程的根时,可以看作是等号两边的两个函数图像的交