数形结合在中学数学教学中的应用

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1、数形结合在中学数学教学中的应用数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映,是数学的基石.在数学教学过程中,处处渗透着数形结合的思想．从数和形两个侧面对问题进行分析,以培养学生思维的深刻性与批判性，构成了数学教学的主要任务.以数助形、以形助数、数形互助，构成了数形结合的基本途径．1与函数有关的问题函数的图像及性质常常是解决问题的突破口,函数的图象是函数解析式的“形”的表象,它以图形的方式来刻划函数中变量之间的变化关系.通过函数的图象研究函数的性质,是中学阶段学习函数理论的重要方法，既有助于理解和记忆函数的性质,也

2、有助于应用函数的性质分析问题和解决问题.　　　　例1实系数方程x+ax+2b=0的一根在(0,1)之间,另一根在(1,2)之间,求的范围.分析若直接利用求根公式或根与系数的关系,则步履维艰;若把数的关系转化为图像,则条件便转化到图像上.令f(x)=x+ax+2b,可得即图1图2它是(a,b)所要满足的条件,用图像表示点(a,b)的区域为△ABC的内部,可理解第9页的几何意义为过点(a,b)与(1,2)的直线的斜率,显然有=k<

3、f(x)=0恰有四个不同的实数根,则此四个实数根之和是多少?解由f(3-x)=f(3+x),知道函数f(x)的图像关于直线x=3对称．如图,画一个符合要求的函数f(x)的图像．设有两个根分别为a,b.由对称性知,另一根分别为6-a,6-b.于是,四根之和a+b+(6-a)+(6-b)=12.图3例3方程=x-2x+1的实根的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解若直观通过解方程来求其实根的个数,则比较麻烦．可在同一直角坐标系中画出函数y=和y=x-2x+1的图像,通过观察可知,这两个函数的图像有且只有

4、一个交点,所以方程=x-2x+1只有一个实根,应选A.2与不等式有关的问题不等式所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点,使不等式的学习便得抽象和难于理解．如果方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义,或通过某种方式可以与图形建立联系,可将方程或不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，使得原问题直观且易于理解，从而所讨论问题得到解决．设f(x)和f(x)是[a,b]上的连续函数,以曲线y=f(x)为下界,以曲线y=f(x)为上界,以平行于y轴的直线x=a为左界,以平行于y轴的直线x

5、=b为右界所围成的图形是一个点的集合.如果图形不包括界线在内,那么这个点集可以用下列不等式描述：a

6、所确定的平面上的点集叫做区域.例4解不等式（y-x+1）(2x-y-3)>0.解点（x,y）满足不等式的充分必要条件是y-x+1和2x-y-3有同符号的值.因此设y-x+1>0的区域为M,y-x+1<0的区域为M;2x-y-3>0的区域为N,2x-y-3<0的区域为N．第9页则（y-x+1）(2x-y-3)>0(x,y)(MN)(MN),从原不等式的区域(下图)可知,所求解为:E=(x,y)

7、-

8、2

9、且满足条件a+x=b+y=c+z=k>0求证：ay+bz+cx

10、号,解这个无理不等式,同样可以用类似去解,节省了大量的不必要的运算,我们先以解等式为例.例6解方程：+=20.分析要解这个方程,按一般解法,就是先化简,经过两次平方后脱去根号,再求解.但过程非常繁冗,容易出错,因此不是个好解法.观察一下这个方程的形式,就会联想到椭圆第一定义的数学表达式,配方后再令5=y,即可得=20,且20>10.由椭圆第一定义可知,点(x,y)的轨迹为一个以(-5,0)、(5,0)为焦点、长轴