2.1.4 函数的奇偶性

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1、2.1.4函数的奇偶性一、知识梳理：1.奇、偶函数的定义：（1）设函数的定义域为，如果对内的，都有，且，则这个函数叫做奇函数。（2）设函数的定义域为，如果对内的，都有，且，则这个函数叫做偶函数。注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．2.奇、偶函数的图像特征：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是；反之，如果一个函数的图象

2、是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。3.奇、偶函数的性质：（1）奇函数在和上有相同的单调性；偶函数在和上有相反的单调性。（2）在定义域的公共部分内，两奇函数之积（商）为偶函数，两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。（注意：取商时分母不为零）4.奇偶性的判定方法：利用定义判断函数的奇偶性主要分三步进行：①判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，

3、则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②化简函数的解析式（注意定义域）；③求出，根据与之间的关系，判断函数的奇偶性。-9-二、典型例题：类型1用定义判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性。变式训练：判断下列函数的奇偶性。类型2分段函数的奇偶性例2：判断函数的奇偶性。-9-变式训练：判断函数的奇偶性。类型3抽象函数的奇偶性例3：若函数对一切实数都有成立。（1）试判断的奇偶性；（2）若求的值。-9-变式训练：设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数。类型4由函数奇偶性求函数解

4、析式例4：已知是R上的奇函数，当时，求时，的解析式。-9-变式训练：已知为偶函数，为奇函数，且满足求，。类型5由函数奇偶性求参数的值例5：已知函数为R上的偶函数，（1）求的关系式；（2）求关于的方程的解集。-9-变式训练：设是奇函数且求的值。类型6函数的单调性与奇偶性的综合应用例6：已知奇函数且在上是减函数，解不等式变式训练：设函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为-9-误区、易错警示典例：已知函数是定义在上的偶函数，当时，是减函数，若求实数的取值范围。互动探究：若本例

5、中为奇函数，其余条件不变，如何求实数的取值范围？典例：已知，均为奇函数，且在上最大值为5，则在上的最小值为变式训练：已知是定义在R上的奇函数，且试求。-9-习题*全能训练1.已知是定义在上的奇函数，则的值为（）（A）0（B）1（C）-1（D）22.为定义在上的奇函数，下列结论不正确的是（）（A）（B）（C）（D）3.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（）（A）是奇函数（B）是奇函数（C）是偶函数（D）是偶函数4.奇函数的图像必定经过点（）（A）（B）（C）（D）5.下列判断正确的是（）（A）函数是奇函

6、数（B）函数是偶函数（C）函数是非奇非偶函数（D）函数既是奇函数又是偶函数6.设偶函数满足则（）（A）（B）（C）（D）7.已知是偶函数，且其图像与轴有4个交点，则方程的所有实根之和为8.已知函数是偶函数，则，-9-9.已知奇函数在上为增函数，则不等式的解集为10.已知函数是奇函数，且（1）求的值；（2）判断在上的单调性。11.已知函数且（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）若求实数的取值范围。-9-