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《高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性课堂导学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.4函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念,函数奇偶性的判定与证明【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3+x;(2)f(x)=(x-1)·;(3)f(x)=+.思路分析：利用函数奇偶性的定义判断.解：(1)∵定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)∵定义域为{x
2、x＞1或x≤-1},定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.(3)∵定义域为{-2,2},f(-x)=0=f(x)=-f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.温馨提示第
3、(2)小题易错解为:∵f(x)=(x-1)·=,f(-x)===f(x),∴f(x)为偶函数.二、函数奇偶性的综合应用【例2】(1)若奇函数y=f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)＞0,求a的取值范围;(2)若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1),求a的取值范围.思路分析：(1)去掉函数符号f,等价变换出a的不等式.利用f(x)为奇函数和减函数的性质.(2)利用f(x)为偶函数的性质和证在(0,+∞)上为减函数
4、,这个证明不可少.解：(1)由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)＞0等价于f(1-a)＞f(a2-1),又f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,得解之,得1＜a≤.(2)任取x1,x2∈（0,+∞）且x1＜x2,则-x1＞-x2.∵f(x)是区间(-∞,0)上的增函数,∴f(-x1)＞f(-x2).又f(x)为偶函数,得f(x1)＞f(x2),即f(x)在(0,+∞)上是减函数,容易判断2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数.∴f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1
5、)等价于2a2+a+1＞3a2-2a+1.3解之,得0＜a＜3.三、根据奇偶性求函数的解析式【例3】已知f(x)是奇函数,且当x＞0时,f(x)=x2-2x,求当x＜0时,f(x)的表达式.思路分析：函数只要设x＜0,则-x＞0,再由奇函数定义进行转化.解：设x＜0,则-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-(x2+2x)=-x2-2x.∴当x＜0时,f(x)=-x2-2x.温馨提示此题易错解为:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
6、=-(x2-2x)=-x2+2x.∴当x＜0时,f(x)=-x2+2x.应该注意:(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里;(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入;(3)利用f(x)的奇偶性,把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).各个击破类题演练1设a为实数,函数f(x)=x2+
7、x-a
8、+1,x∈R,讨论f(x)的奇偶性.解析：当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+
9、-x
10、+1=x2+
11、x
12、+1=f(x),∴f(x)为偶函数.当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2
13、a
14、+1,f(
15、-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.变式提升1若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,∴b=0,从而g(x)=ax3+bx2+cx为奇函数.答案：A类题演练2设f(x)在R上是奇函数,在区间(-∞,0)上递增,且有f(2a2+a+1)16、递增,知f(x)在(0,+∞)上递增.∵2a2+a+1=2(a+)2+>0,3a2-2a+1=3(a)2+>0,且f(2a2+a+1)0.解之,得a<0或a>3.变式提升2已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(2)=10,求f(-2).解析：令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)是奇函数,∴g(-2)+g(2)=0.3∴f(-2)+8+f(2)+8=0.∵f(2)=10,∴f(-2)=-26.类题演练3已知f(x)是奇函数,
17、且当x>0时,f(x)=x
18、x-2
19、,求x<0时f(x)的表达式.解析：设x<0,则-x>0,且满足表达式f(x)=x
20、x-2
21、,∴f(-x)=-x
22、-x-2
23、=-x
24、x+2
25、.又f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x
26、x+2
27、.∴f(x)=x
28、x+2
29、.故当x<0时,f(x)的表达式为f(x
