高中数学第二章函数概念与I2.1函数的概念2.1.4函数的表示方法课堂导学案

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1、2.1.4函数的表示方法课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】已知f(x)=(1)求f(1),f(-2),f(a2+1),f［f(0)］的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a2+1)=(a2+1)2+1=a4+2a2+2,f［f(0)］=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围

2、内取值时，相应的函数解析式不同.（2）f［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f”这个对应法则，求f［f(x0)］的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(+4）=x+8,求f(x2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x2).解析：（1）∵f(x)是二次函数，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=1得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(a

3、x2+bx+1)=2x.左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.由恒等式原理知∴∴f(x)=x2-x+1.(2)设t=+4.∴=t-4(t≥4).4由f(+4)=x+8可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4）.∴f(x)=x2-16(x≥4）.∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2）.温馨提示在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(+4)=x+8，得f(x2)=x2+8

4、x

5、，这是没明白x2与+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超

6、过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0

7、),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；变式提升1已知x∈N*,f(x)=则f(3)=__________.4解析:∵f(x)=∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练2(2004湖北卷高考理，3

8、)已知f()=，则f(x)的解析式可取为（）A.B.-C.D.-解析：设=t，则x=.∴f(t)===即f(x)=，故选C.答案：C变式提升2已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式.解析：设f(x)=k1x,g(x)=,则φ(x)=k1x+,∵φ（）=16，φ(1)=8,∴解得∴φ（x）=3x+.类题演练3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费

9、设为y，所走千米数设为x，试写出y=f(x)的表示式.解析：当020时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.4综上所述，y与x的函数关系为y=变式提升3如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解析：函数定义域为（0，12）.当0

10、×4×x=2x；当4